Серед усіх прямокутників, вписаних у задане півколо так, що одна сторона лежить на діаметрі, знайді

Эта задача на нахождение локального максимума (экстремума) вида "найти наибольшую площадь (объем, длину и т.д.)".
Решение задачи сводится к нахождению функции (в данном случае площади) от одной переменной, а далее действуем по алгоритму нахождения экстремума.

Решаем.

Площадь прямоугольника равна

$$S=a*b$$ т.е. у нас две переменные. Нужно выразить одну переменную (сторону) через другую или найти общую для сторон переменную и выразить стороны через эту переменную.
Рассмотрим рисунок.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOAB. Стороны треугольника связаны между собой при помощи теоремы Пифагора и при помощи тригонометрических функций.

Рассмотрим первый способ - тригонометрический.
Будем считать, что R - радиус окружности - постоянная. Из треугольника ΔOAB можно найти его катеты (это стороны прямоугольника) $a = AB = R\sin\alpha$, для второго катета (стороны) $\frac{1}{2}b = R\cos\alpha => b = 2*R\cos\alpha$. Подставляем в формулу площади

$$S=a*b = R\sin\alpha *2*R\cos\alpha = R^2\sin 2\alpha$$ Из рисунка видно, что угол принадлежит диапазону $\alpha \in (0;90^0)$.
Получили функцию площади, зависящую от одной переменной - угла $S(\alpha)$.
Теперь ищем локальный максимум (экстремум). Для этого находим производную от функции $S(\alpha)$ $$S' = (R^2\sin 2\alpha )' = 2R^2*\cos 2\alpha$$ Приравниваем производную к нулю $$2R^2*\cos 2\alpha = 0 => \cos 2\alpha = 0 =>$$ $$2\alpha = \frac{\pi}{2} +\pi n => \alpha = \frac{\pi}{4} +\frac{\pi n}{2}$$ Как я уже писал угол $\alpha \in (0;\frac{\pi}{2})$, поэтому остается одно решение $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Подставляем полученное значение в формулу сторон и площади и находим прямоугольник с наибольшей площадью $$a =  R\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}R$$ $$b =  2R\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt 2 R$$ $$S = R^2\sin 2\frac{\pi}{4}= R^2$$
То, что это локальный максимум понятно из того, что мы получили $\sin 2\frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$. Если мы возьмем углы справа и слева , то синус всегда будет меньше единицы, т.е. полученная площадь наибольшая.

Рассмотрим второй метод - метод Пифагора.

Из треугольника ΔOAB по теореме Пифагора выразим один катет через другой

$$a^2+(\frac{1}{2}b)^2 = R^2 => a= \sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2}$$ Подставляем в формулу площади прямоугольника $$S = b*\sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2}$$ Получили функцию от одной переменной $S(b)$.

Находим экстремумы.
Найдем производную функции по формуле производная произведения и производная сложной функции

$$S'=(b*\sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2})' = \sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2} +\frac{1}{2} \frac{b}{\sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2}}*(-\frac{1}{4}2b)=$$ приводим дроби к общему знаменателю $$=\sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2} -\frac{1}{4} \frac{b^2}{\sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2}}= \frac{4(R^2-\frac{1}{4}b^2)-b^2}{4\sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2}}=$$ $$=\frac{4R^2-b^2-b^2}{4\sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2}}=\frac{4R^2-2b^2}{4\sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2}}$$ Приравняем производную к нулю $$\frac{4R^2-2b^2}{4\sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2}} = 0 =>$$ дробь равна нулю, если числитель равен нулю $$4R^2-2b^2 = 0 =>$$ $$b = R \sqrt 2$$ Подставляем в формулу Пифагора и находим вторую сторону $$a= \sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}b^2} = \sqrt{ R^2 -\frac{1}{4}(R \sqrt 2)^2} = \sqrt{\frac{1}{2}R^2 } =>$$ $$a= R \frac{\sqrt 2}{2}$$ Наибольшая площадь будет равна $$S = a*b = R \frac{\sqrt 2}{2}*R \sqrt 2  = R^2$$