Кожне з заданих рівнянь шляхом паралельного перенесення системи координат привести до канонічного

Все уравнения, в которых есть квадраты переменных \(x^2;y^2\) и нет из произведения (x*y) приводятся к каноническому виде одним путем - выделение полного квадрата.
a) \(x^2+y^2-4x=0\) выделяем полный квадрат по x $$x^2+y^2-4x=0 => (x^2-2*2x +4)-4+y^2=0 => (x-2)^2+y^2=4$$ Получили уравнение окружности с центром в точке (2;0). Введем новую систему координат в точке (2;0), т.е. произведем параллельный перенос системы координат \(x' = x-2;y'=y\), где \(x;y\) - координаты в старой системе координат. Новая система координат получилась путем переноса старой системы координат вправо вдоль оси Ox. Тогда уравнение окружности в новой системе координат примет вид $$x'^2+y^2=2^2$$ - каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r=2.

б) \(4х^2-9у^2-40х+36у+100=0\). Выделяем полный квадрат $$4(х^2-10x)- 9(у^2-4у)+100=0 => 4(х^2-2*5x+25-25)- 9(у^2-2*2у+4-4)+100=0 =>$$$$4((x-5)^2-25)- 9((y-2)^2-4)+100=0 => 4(x-5)^2-100- 9(y-2)^2+36+100=0 =>$$$$4(x-5)^2- 9(y-2)^2=-36 =>$$Разделим обе части уравнения на 36, получим $$\frac{(x-5)^2}{9}- \frac{(y-2)^2}{4}=-1$$ Получили уравнение гиперболы с центром в т. (5;2) и действительной осью, параллельной оси Oy. Для получения канонического уравнения необходимо сделать параллельный перенос осей. Введем новую систему координат в точке (5;2), Для этого введем новые координаты \(x'=x-5; y'=y-2\), получаем каноническое уравнение гиперболы $$\frac{x'^2}{9}- \frac{y'^2}{4}=-1$$ Для удобства построения гипербола построим асимптоты $$y= \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{2}{3}x'$$

в) \(4у^2-х^2-8х+4у-4=0\) Выделяем полный квадрат $$4(у^2+y)-(х^2+8х)-4=0 => $$$$4(у^2+2\frac{1}{2}y +\frac{1}{4}-\frac{1}{4})-(х^2+2*4*х+16-16)-4=0 =>$$$$4(у+\frac{1}{2})^2-1-(х+4)^2+16-4=0 =>4(у+\frac{1}{2})^2-(х+4)^2=-11 $$ Дели обе части уравнения на 11 $$\frac{(у+\frac{1}{2})^2}{\frac{11}{4}}-\frac{(х+4)^2}{11}=-1$$Получили уравнение гиперболы с центром в т.\((-4;-\frac{1}{2})\) и действительной осью, параллельной оси Ox. Для получения канонического уравнения необходимо сделать параллельный перенос осей. Введем новую систему координат в точке \((-4;-\frac{1}{2})\), для этого введем новые координаты \(x'=x+4; y'=y+\frac{1}{2}\), получаем каноническое уравнение гиперболы $$\frac{у'^2}{\frac{11}{4}}-\frac{х'^2}{11}=-1$$ Для удобства построения гипербола построим асимптоты $$y= \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{\sqrt{\frac{11}{4}}}{\sqrt{11}}x' = \pm \frac{1}{2}x'$$

г) \(x^2+x-3y+1=0\) Выделяем полный квадрат $$x^2+x-3y+1=0=> $$$$x^2+2\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-3y+1=0 =>$$$$(x+\frac{1}{2})^2-3y+\frac{3}{4}=0$$Выражаем y  через x $$y = \frac{1}{3}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}$$Получили уравнение параболы с вершиной в т.\((-\frac{1}{2};-\frac{1}{4})\) и действительной осью, параллельной оси Ox. Для получения канонического уравнения необходимо сделать параллельный перенос осей. Введем новую систему координат в точке\((-\frac{1}{2};-\frac{1}{4})\) , для этого введем новые координаты \(x'=x+\frac{1}{2}; y'=y+\frac{1}{4}\), получаем каноническое уравнение параболы  $$y = \frac{1}{3}x^2$$