Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Кожне з заданих рівнянь шляхом паралельного перенесення системи координат привести до канонічного


0 Голосов
abrostor
Posted Ноябрь 13, 2013 by abrostor
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 6921

Кожне з заданих рівнянь шляхом паралельного перенесення системи координат привести до канонічного вигляду; для кожного випадку зобразити на рисунку обидві системи координат та криву, що визначається даним рівнянням. 


а)x^2+y^2-4x=0
б)4х^2-9у^2-40х+36у+100=0
в)4у^2-х^2-8х+4у-4=0
г) x^2+x-3y+1=0

Теги: уравнение кривой второго порядка, каноническое уравнение гиперболы

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 13, 2013 by Вячеслав Моргун

Все уравнения, в которых есть квадраты переменных x^2;y^2 и нет из произведения (x*y) приводятся к каноническому виде одним путем - выделение полного квадрата.
a) x^2+y^2-4x=0 выделяем полный квадрат по x x^2+y^2-4x=0 => (x^2-2*2x +4)-4+y^2=0 => (x-2)^2+y^2=4

Получили уравнение окружности с центром в точке (2;0). Введем новую систему координат в точке (2;0), т.е. произведем параллельный перенос системы координат x' = x-2;y'=y, где x;y - координаты в старой системе координат. Новая система координат получилась путем переноса старой системы координат вправо вдоль оси Ox. Тогда уравнение окружности в новой системе координат примет вид x'^2+y^2=2^2
- каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r=2.



 


Другие ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 13, 2013 by Вячеслав Моргун

г) x^2+x-3y+1=0 Выделяем полный квадрат x^2+x-3y+1=0=>

x^2+2\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-3y+1=0 =>
(x+\frac{1}{2})^2-3y+\frac{3}{4}=0
Выражаем y  через x y = \frac{1}{3}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}
Получили уравнение параболы с вершиной в т.(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}) и действительной осью, параллельной оси Ox. Для получения канонического уравнения необходимо сделать параллельный перенос осей. Введем новую систему координат в точке(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}) , для этого введем новые координаты x'=x+\frac{1}{2}; y'=y+\frac{1}{4}, получаем каноническое уравнение параболы  y = \frac{1}{3}x^2



0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 13, 2013 by Вячеслав Моргун

в) 4у^2-х^2-8х+4у-4=0 Выделяем полный квадрат 4(у^2+y)-(х^2+8х)-4=0 =>

4(у^2+2\frac{1}{2}y +\frac{1}{4}-\frac{1}{4})-(х^2+2*4*х+16-16)-4=0 =>
4(у+\frac{1}{2})^2-1-(х+4)^2+16-4=0 =>4(у+\frac{1}{2})^2-(х+4)^2=-11
Дели обе части уравнения на 11 \frac{(у+\frac{1}{2})^2}{\frac{11}{4}}-\frac{(х+4)^2}{11}=-1
Получили уравнение гиперболы с центром в т.(-4;-\frac{1}{2}) и действительной осью, параллельной оси Ox. Для получения канонического уравнения необходимо сделать параллельный перенос осей. Введем новую систему координат в точке (-4;-\frac{1}{2}), для этого введем новые координаты x'=x+4; y'=y+\frac{1}{2}, получаем каноническое уравнение гиперболы \frac{у'^2}{\frac{11}{4}}-\frac{х'^2}{11}=-1
Для удобства построения гипербола построим асимптоты y= \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{\sqrt{\frac{11}{4}}}{\sqrt{11}}x' = \pm \frac{1}{2}x'



0 Голосов
abrostor
Posted Ноябрь 13, 2013 by abrostor
4у^2-х^2-8х+4у-4=0
x^2+x-3y+1=0

0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 13, 2013 by Вячеслав Моргун

б) 4х^2-9у^2-40х+36у+100=0. Выделяем полный квадрат 4(х^2-10x)- 9(у^2-4у)+100=0 => 4(х^2-2*5x+25-25)- 9(у^2-2*2у+4-4)+100=0 =>

4((x-5)^2-25)- 9((y-2)^2-4)+100=0 => 4(x-5)^2-100- 9(y-2)^2+36+100=0 =>
4(x-5)^2- 9(y-2)^2=-36 =>
Разделим обе части уравнения на 36, получим \frac{(x-5)^2}{9}- \frac{(y-2)^2}{4}=-1
Получили уравнение гиперболы с центром в т. (5;2) и действительной осью, параллельной оси Oy. Для получения канонического уравнения необходимо сделать параллельный перенос осей. Введем новую систему координат в точке (5;2), Для этого введем новые координаты x'=x-5; y'=y-2, получаем каноническое уравнение гиперболы \frac{x'^2}{9}- \frac{y'^2}{4}=-1
Для удобства построения гипербола построим асимптоты y= \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{2}{3}x'