Нужно найти уравнение прямой AB, а затем расстояние от точки C до прямой AB.
1. Уравнение прямой AB. Будем находить п формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки А(11; 1), В(1; 8). $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$Подставляем координаты $$\frac{x-1}{11-1}=\frac{y-8}{1-8} => y =-0,7x+8,7$$
2. Находим расстояние от точки C до прямой AB - это и будет длина высоты ΔABC, опущенная из вершины C. Расстояние от точки до прямой находится по формуле $$ L= \frac{Ax_0+By_0+C}{ \sqrt{A^2+B^2}} $$ где \(Ax_0+By_0+C\) - уравнение прямой AB, \( (x_0;y_0) \) - координаты точки, расстояние до которой находится, т.е. точки С(4; 2). Предварительно преобразуем уравнение прямой к необходимому виде $$ y =-0,7x+8,7 => y +0,7x-8,7 =0 => 7x + 10y - 87 =0$$ Подставляем и находим $$L=|\frac{7*4 + 10*2 - 87}{\sqrt{49+100}}| = \frac{39}{\sqrt{149}}$$
