Для решения дифференциального уравнения будем применять метод понижения порядка, т.е. приведем дифференциальное уравнение второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка для этого введем замену $$y'=p => y''=\frac{dp}{dx}$$Подставляем в уравнение $$x\cdot\frac{dp}{dx}=2p$$получили однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое будем решать методом разделения переменных, т.е. x - направо, y - налево. $$\frac{dp}{p}=2\frac{dx}{x}$$Интегрируем обе части уравнения $$\int \frac{dp}{p}= \int 2\frac{dx}{x} => \ln(p)=2\ln(x)+\ln(C) =>\ln(p)=\ln(x^2\cdot C)$$Потенцируем части уравнения уравнения $$p=x^2\cdot C$$Делаем обратную замену \(y'=p\)=> $$\frac{dy}{dx}=x^2\cdot C $$опять получили однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решаем его методом разделения переменных $$\frac{dy}{dx}=x^2\cdot C =>\int dy=\int x^2\cdot Cdx => $$$$y=\frac{x^2}{3}C + C_2 => $$$$y=x^2\cdot C_1 + C_2$$
