найти общее решение дифференциального уравнения $xy"=2y′$

Для решения дифференциального уравнения будем применять метод понижения порядка, т.е. приведем дифференциальное уравнение второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка для этого введем замену

$$y'=p => y''=\frac{dp}{dx}$$ Подставляем в уравнение $$x\cdot\frac{dp}{dx}=2p$$ получили однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое будем решать методом разделения переменных, т.е. x - направо, y - налево. $$\frac{dp}{p}=2\frac{dx}{x}$$ Интегрируем обе части уравнения $$\int \frac{dp}{p}= \int 2\frac{dx}{x} => \ln(p)=2\ln(x)+\ln(C) =>\ln(p)=\ln(x^2\cdot C)$$ Потенцируем части уравнения уравнения $$p=x^2\cdot C$$ Делаем обратную замену $y'=p$=> $$\frac{dy}{dx}=x^2\cdot C$$ опять получили однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решаем его методом разделения переменных $$\frac{dy}{dx}=x^2\cdot C =>\int dy=\int x^2\cdot Cdx =>$$ $$y=\frac{x^2}{3}C + C_2 =>$$ $$y=x^2\cdot C_1 + C_2$$