Решить дифференциальное уравние $$xy'=x^2e^{-y}+2$$

Доброго времени
Можно умножить обе части уравнения на \(e^y\):
$$x\cdot e^y\cdot y' = x^2 + 2e^y$$
в таком уравнении делаем замену \(z(x) = e^y\), а тогда производная \(z'= e^y\cdot y'\), и получаем уравнение:
$$x\cdot z' = x^2 + 2z$$
т.е. получается линейное уравнение:  \(z' - z\cdot\frac{2}{x} = x \)
( с линейным вроде должно быть уже не сложно.. если что-нибудь не получится - напишите =))

Спасибо Светлане за решение.
Закончим решение неоднородного линейного дифференциального уравнения $$z' - z\cdot\frac{2}{x} = x \quad (1)$$.
1. Приведем неоднородное уравнение к однородному для этого приравняем член без z к нулю $$z' - z\cdot\frac{2}{x} = 0$$Решим дифференциальное уравнение методом разделения переменных $$\frac{dz}{dx} = z\cdot\frac{2}{x} => \frac{dz}{z} = \frac{2dx}{x}$$Проинтегрируем обе части уравнения $$\int \frac{dz}{z} = \int \frac{2dx}{x} => \ln(z) = 2\ln(x) + \ln(C)$$ Пропотенцируем уравнения $$z = x^2C$$
2. Применяем метод вариации произвольной постоянной. Предполагаем, что C=C(x) - некоторая функция переменной x $$z = x^2C(x) \quad (2)$$Находим производную (2) и подставляем в (1). $$z' = 2xC(x)+x^2C'(x)$$ после подстановки в (1) получаем: $$z' - z\cdot\frac{2}{x} = x => 2xC(x)+x^2C'(x) - x^2C(x)\cdot\frac{2}{x} = x$$Если все выкладки были сделаны правильно, члены с C(x) должны сократиться $$ x^2C'(x) = x$$ Предполагаем, что \(x \ne 0\), тогда после деления на \(x^2\) обеих частей уравнения, получаем $$ C'(x) = \frac{1}{x}$$интегрируем обе части уравнения $$\int C'(x)dx = \int \frac{1}{x}dx => C(x) = \ln(x) + \ln(C) =>C(x) = \ln(Cx)$$
3. Подставляем значение C(x) в (2). $$z = x^2C(x) => z = x^2\ln(Cx) \quad (3)$$
4. Применяем обратную замену \(z(x) = e^y\) и подставляем в (3) $$e^y = x^2\ln(Cx)$$ В ходе решения мы при делении на x мы предполагали, что \(x \ne 0\), подставляем это значение в решение ДУ. x=0 - не является решением дифференциального уравнения (ОДЗ логарифма \(Cx \ne 0 => x \ne 0\))
Ответ: \(e^y = x^2\ln(Cx)\)