Согласно теореме о радиусе сходимости если существует (конечный или бесконечный) предел $$\lim_{n \to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}$$ то радиус сходимости степенного ряда $$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$ вычисляется по формуле $$\frac{1}{R}=\lim_{n \to \infty}{|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}$$ в нашем случае $$a_n=\frac{5^n * n^{\frac{1}{2}}}{4^n}$$$$a_{n+1}=\frac{5^{n+1} * (n+1)^{\frac{1}{2}}}{4^{n+1}}$$ подставим $$\frac{1}{R}=\lim_{n \to \infty}{|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}=\lim_{n \to \infty}{|\frac{5^{n+1} * (n+1)^{\frac{1}{2}}}{4^{n+1}}}{\frac{4^n}{5^n * n^{\frac{1}{2}}}|}=$$$$=\frac{5}{4}\lim_{n \to \infty}{|\frac{(n+1)^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{1}{2}}}|}=\frac{5}{4}$$ т.е. предел существует, тогда радиус $$R=\frac{4}{5}$$область сходимости \((-\frac{4}{5};\frac{4}{5})\). Проведем исследование на концах интервала, т.е. при \(x=-\frac{4}{5};x=\frac{4}{5} \).
При \( x=\frac{4}{5}\) получим последовательность $$1+\sqrt 2+\sqrt 3+...+\sqrt n$$это – гармонический ряд, который расходится,
при \( x=-\frac{4}{5}\) получим последовательность$$-1+\sqrt 2-\sqrt 3+...+\sqrt n$$получаем числовой знакочередующийся ряд, который по признаку Лейбница сходится
Вывод: область сходимости данного ряда \([-\frac{4}{5};\frac{4}{5})\)
