1. Составим уравнение плоскости, которая проходит через точку \(M_1\) перпендикулярно вектору \(\vec{a}=(5;-2;3)\)
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящую через заданную точку \(M_1(5;3;-1)\) перпендикулярно заданному вектору $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) =0$$где (A;B;C) - координаты нормального вектора, (x_0;y_0;z_0) - координаты точки. Подставляем координаты точки и вектора, получаем $$5(x-5)-2(y-3)+3(z+1) =0 $$ или $$5x-2y+3z-16 =0$$
2. Составим уравнение плоскости, которая проходит через точку \(M_1\) параллельно плоскости 4х+3у-z+1=0
Т.к. две плоскости параллельные, то нормальные вектора обеих плоскостей равны и находим его из уравнения плоскости (1) 4х+3у-z+1=0 => \(\vec{N}=(4;3;-1)\)
У нас есть нормальный вектор, есть точка \(M_1(5;3;-1)\), подставляем в уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору и получаем $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) =0 =>$$$$4(x-5)+3(y-3)-1(z+1) =0$$ или $$4x+3y-z-30 =0$$
3. Составим уравнение плоскости, которая проходит через точки \(M_1(5;3;-1),M_2(2;5;4),M_3(5;-2;3)\).
В начале получим два вектора, лежащие в этой плоскости. \(\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1)=(2-5;5-3;4+1) =(-3;2;5)\) и \(\vec{M_1M_3} = (5-5;-2-3;3+1) =(0;-5;4)\)
Найдем нормальный вектор плоскости как векторное произведение двух полученных векторов $$\vec{M_1M_2}x\vec{M_1M_3}=\left|\begin{array}{c}i & j & k\\ -3 & 2 & 5\\ 0 &-5 &4\end{array}\right|=8i+15k+25i+12j=33i+12j+15k$$Получили нормальный вектор \(\vec{N}=(33;12;15)\). Теперь берем любую точку, например \(M_1(5;3;-1)\), этот вектор и получаем уравнение плоскости $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) =0 =>$$$$33(x-5)+12(y-3)+15(z+1) =0$$
4. Составим уравнение плоскости, которая проходит через точку \(M_3(5;-2;3)\) перпендикулярно прямой \(\frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-4}{5}\).
Зная уравнение прямой, получим координаты нормального вектора \(\vec{N}=(-2;4;5)\). Известен нормальный вектор и точка, получим уравнение плоскости
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) =0 =>$$$$-2(x-5)+4(y+2)+5(z-3) =0 $$или $$-2x+4y+5z+3 =0 $$
