Для нахождения интеграла применим формулу интегрирования по частям $$\int_a^bf(x)g'(x)dx = f(x)g(x)|_a^b-\int_a^bg(x)f'(x)dx \quad (1)$$Введем обозначения:
\(g'(x)=dx =>g(x)=\int dx =>g(x) = x\)
\(f(x)=arctg \frac{x}{2} =>f'(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2} =>f'(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}\)
за g(x) - выбирают функцию, которую легко интегрировать, а за f(x) - функцию, для которой можно просто найти дифференциал.
Подставляем в формулу (1) и получаем $$\int_0^2arctg \frac{x}{2}dx = x\cdot arctg \frac{x}{2}|_0^2-\int_0^2x\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{1+( \frac{x}{2})^2}dx \quad (3)$$
Найдем интеграл $$\int_0^2x\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}dx \quad (4)$$Решать его будем методом замены. Замену выбираем из следующих соображений: если обозначить \(t=1+(\frac{x}{2})^2\), дифференциал от t будет равен \(dt = 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{2}dx =\frac{x}{2}dx\), а у нас в формуле есть \(\frac{x}{2}\), т.е. все элементы для замены есть, подставляем замену в (4) при этом не забываем о границах интеграла, которые нужно пересчитать. Нижняя граница \(x=0 =>t=1+(\frac{x}{2})^2 = 1\), верхняя граница \(x=2 =>t=1+(\frac{x}{2})^2 = 1+(\frac{2}{2})^2=2\), подставляем$$\int_0^2x\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}dx = \int_0^2x\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}dx=\int_1^2\frac{1}{t}dt=\ln t|_1^2$$Подставляем результата в (3)$$\int_0^2arctg \frac{x}{2}dx = x\cdot arctg \frac{x}{2}|_0^2 - \ln t|_1^2 =$$$$= 2\cdot arctg \frac{2}{2}-0\cdot arctg \frac{0}{2} - \ln 2 - \ln 1=$$$$= 2\cdot\frac{\pi}{4}-\ln 2 = \frac{\pi}{2}-\ln 2$$
Ответ: \(\int_0^2arctg \frac{x}{2}dx = \frac{\pi}{2}-\ln 2\)
