Доброго времени
(с местным редактором формул я еще не очень "подружилась" - поэтому пока не обещаю, что формулы будут читаться красиво.. =))
Это ур-ие 1-ого порядка, не разрешенное относительно производной (точнее, y ' здесь явно выразить (через y) можно.. только ничего хорошего не получится =) будет что-то вроде y ' = +- \sqrt{\frac{\sqrt{4y^2 - 1} -1}{2}} - и оно не очень интегрируется..) Можно выкрутиться общим методом введения параметра (получить решение в виде параметрически заданной функции x = x(p) и y = y(p).
Так как выражено явно y через производную - то параметром p пусть будет производная: p = y ' или p = \frac{dy}{dx}. Т.е. уравнение: y =p*\sqrt{1+p^2}
Берем дифференциал от обеих частей этого равенства: dy = (p\cdot \sqrt{1+p^2})'*dp ;
Т.е. dy = (1*\sqrt{1+p^2} + p*\frac{p}{\sqrt{1+p^2}})*dp ;
или dy = \frac{1+ 2*p^2}{\sqrt{1+p^2}}*dp ;
Но еще: dy = p*dx, т.е. уравнение: p*dx = \frac{1+ 2*p^2}{\sqrt{1+p^2}}*dp.
При p НЕ равном нулю - на p можно разделить ( и проинтегрировать полученное уравнение):
\int dx = \int (\frac{1+2p^2}{p*\sqrt{1+p^2}})dp ;
Для интеграла справа - я бы сделала замену t = \sqrt {1+ p^2}, тогда p = \sqrt{t^2 -1}, и дифференциал dp = \frac{t}{\sqrt{t^2 -1}}*dt ; т.е. в интеграле получаем:
\int \frac{1+2p^2}{p*\sqrt{1+p^2}}dp = \int \frac{1 + 2*( t^2 - 1 )}{\sqrt{t^2 -1}*t}*\frac{t}{\sqrt{t^2 -1}}dt =
=\int \frac{2t^2 - 1}{t^2-1}dt = \int ( 2 + \frac{1}{t^2 - 1})dt =
=\int ( 2 + \frac{1}{2}*( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} ))dt = \int ( 2 + \frac{1}{t^2 - 1})dt = 2t + \frac{1}{2}\ln\frac{t-1}{t+1} + C =
возвращаем
t = \sqrt{1+p^2}, т.е. будет:
= 2\sqrt{1 + p^2} + \frac{1}{2}\ln\frac{\sqrt{1+p^2} - 1}{\sqrt{1+p^2} +1} +C =
подгоняем под ответ из Филиппова =) - в аргументе логарифма домножаем на сопряженное, при чем на сопряженное к числителю:
= 2\sqrt{1 + p^2} + \frac{1}{2}\ln\frac{{1 + p^2 - 1}}{{(\sqrt{1+p^2}+1)^2}} + C =
"по свойствам логарифмов":
= 2\sqrt{1+p^2} + \ln|p| - \ln(\sqrt{1+p^2} + 1) + C
Т.е. получили:
x (p) = 2\sqrt{1+p^2} + \ln|p| - \ln(\sqrt{1+p^2} + 1) + C, и
y = p*\sqrt{1+p^2} , где
C - const, и
p - параметр ( решение в виде параметрически заданной функции)
Только всё это было "при p НЕ равном нулю" ( там, в середине решения была оговорка - когда делили на p) - и наверное, случай
p = 0 надо рассматривать отдельно - но если
p = 0 то и
y =p*\sqrt{1+p^2} = 0, а функция-константа
y = 0 - да, очевидно, что тоже является решением исходного уравнения. ( В задачнике в ответе она тоже добавлена =))
( Если почитать что-то похожее - то мне нравится: Самойленко, Кривошея, Перестюк. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи )
