Найдем предел последовательности \( \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\sin(x))}{\sin(4x)} = \frac{0}{0}\)
Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\), для разрешения этой неопределенности применим правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем правило $$ \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\sin(x))}{\sin(4x)} = \lim_{x \to 0}\frac{ \frac{ \cos(x)}{1+\sin(x)}}{4\cos(4x)} = \frac{1}{4}$$Ответ: \( \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\sin(x))}{\sin(4x)} = \frac{1}{4}\)
