Найдем $$\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n-1})^n = (\frac{\infty}{\infty})^{\infty}$$т.е. получили неопределенность.
Найдем решение двумя способами:
1. метод логарифмирования: прологарифмируем выражение под знаком предела $$\lim_{n \to \infty}\ln{f(x)}=\ln a => \lim_{n \to \infty}f(x) = e^{\ln a}$$Логарифмирование позволяет нам избавиться от степени. Продолжаем $$\lim_{n \to \infty}\ln{(\frac{n+1}{n-1})^n}=\lim_{n \to \infty}n*\ln{\frac{n+1}{n-1}}=\infty*0$$Под знаком логарифма получилась единица. Все указывает на то, что нужно применять правило Лопиталя вида \(\frac{0}{0}\) для этого выражение под знаком предела представим в виде $$\lim_{n \to \infty}n*\ln{\frac{n+1}{n-1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\ln{\frac{n+1}{n-1}}}{\frac{1}{n}}=\frac{0}{0}$$Ну а теперь применяем правило Лопиталя, т.е. находим производную числителя и знаменателя $$ \lim_{n \to \infty}\frac{\ln{\frac{n+1}{n-1}}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{\frac{n+1}{n-1}}*\frac{1*(n-1)-1*(n+1)}{(n-1)^2}}{-\frac{1}{n^2}} =$$$$= \lim_{n \to \infty}\frac{n-1}{n+1}*\frac{n-1-n-1}{(n-1)^2}(-n^2) = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}*\frac{-2}{(n-1)}(-n^2) = $$$$ \lim_{n \to \infty}\frac{2n^2}{(n+1)(n-1)}=2$$Осталось сделать последнее действие - пропотенцировать решение, получаем $$\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n-1})^n =e^2$$
2. метод приведения к замечательному пределу: суть второго метода - применить ряд преобразований, чтобы привести предел к одному из известных замечательных пределов. В данном случае к пределу $$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e \quad (1)$$Т.е. для начала, выделим целую чать в числителе дроби $$\frac{n+1}{n-1} = \frac{n-1+1+1}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}$$чтобы выражение стало похоже на выражение \(e \quad (1)\) необходимо степень равную \(\frac{n-1}{2}\) для этого степень умножим и поделим на одно и то же выражение \(\frac{n-1}{2}\) получим $$(\frac{n+1}{n-1})^n =(1+\frac{2}{n-1})^n = (1+\frac{2}{n-1})^{\frac{n-1}{2}*\frac{2}{n-1}*n}=((1+ \frac{2}{n-1})^{\frac{n-1}{2})^\frac{2n}{n-1}}$$А теперь найдем предел $$\lim_{n \to \infty}((1+\frac{2}{n-1})^{\frac{n-1}{2})^\frac{2n}{n-1}}=$$ все преобразования делались, чтобы получить замечательный предел и мы его получили \(\lim_{n \to \infty}((1+\frac{2}{n-1})^{\frac{n-1}{2}} = e\), т.е. получили $$\lim_{n \to \infty}((1+\frac{2}{n-1})^{\frac{n-1}{2})^\frac{2n}{n-1}}=\lim_{n \to \infty}((1+\frac{2}{n-1})^{\frac{n-1}{2})^\lim_{n \to \infty}\frac{2n}{n-1}}=e^2$$
