Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение вида $$y'+p(x)y=q(x)$$ Будем решать его методом "вариации произвольной постоянной":
1-шаг: рассмотрим однородное уравнение $$y'+2xy=0 =>$$т.е. функцию \(x*e^{-x^2}\) приравняли к нулю. $$\frac{dy}{dx}=-2xy$$Решаем однородное дифференциальное уравнение методом разделения переменных $$\frac{dy}{y}=-2xdx$$ Интегрируем обе части уравнения $$\int \frac{dy}{y}=-\int 2xdx => \ln|y|=-x^2 + C =>$$потенцируем полученное равенство $$y = e^{-x^2+C}=e^{-x^2}*e^C=e^{-x^2}*C_1$$где \(C_1=e^C\)
2-шаг: согласно методу "вариации произвольной постоянной" положим, что \(C_1=C(x)\), т.е. вместо константы мы ввели функцию от x. Тогда решение однородного уравнения примет вид $$y=e^{-x^2}*C(x)$$
3-шаг: подставим полученное решение в исходное дифференциальное уравнение при этом учтем, что \(y'=(e^{-x^2}*C(x))'=C'(x)e^{-x^2}-e^{-x^2}*2x*C(x)\)
$$y'+2xy=x*e^{-x^2} = > C'(x)e^{-x^2}-e^{-x^2}*2x*C(x)+2xe^{-x^2}*C(x)=x*e^{-x^2} = > $$Обращаю внимание на то, что члены с C(x) должны сократиться, это означает, что уравнение решается правильно.$$C'(x)e^{-x^2}=x*e^{-x^2} = > C'(x)=x$$Интегрируем обе части уравнения и находим C(x)$$C(x) =\frac{x^2}{2} + C_2$$где \(C_2\) - произвольная постоянная.
3-шаг: подставляем полученное значение C(x) в решение однородного дифференциального уравнения 2-й шаг и получаем $$y=e^{-x^2}*C(x) = > $$$$y=e^{-x^2}*(\frac{x^2}{2} + C_2)$$
