1.уравнение прямой АВ.
У нас известны координаты двух точек, поэтому воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$ Подставляем известные координаты и получаем $$\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-4}{6-4}=\frac{z-0}{-4-0} =>\frac{x-1}{4}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{-4} =>$$
2. Уравнение плоскости, проходящей точку С перпендикулярную АВ
О плоскости у нас известно, что она проходит через заданную точку С(2,3,-4), также известно, что плоскость перпендикулярна прямой п.1. Из этого уравнения прямой получим координаты вектора нормали (прямая и вектор нормали параллельны) N(4;2;-4). У нас известен вектор нормали и одна точка. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_o)=0$$ где A,B,C - координаты вектора нормали A=4,B=2,C=-4. Подставляем координаты точки и вектора нормали $$4(x-2)+2(y-3)-4(z+4)=0 => 4x+2y-4z-30=0$$
3.Точку пересечения прямой АВ и найденной плоскости
Приводим уравнение прямой к параметрическому виду и подставляем полученные координаты x,y,z в уравнение плоскости $$\frac{x-1}{4}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{-4} =t =>\begin{cases}\frac{x-1}{4}=t\\\frac{y-4}{2}=t \\\frac{z}{-4} =t \end{cases}=>\begin{cases}x=4t+1\\y=2t+4 \\z=-4t \end{cases}$$ Подставляем x,y,z в уравнение плоскости $$4x+2y-4z-30=0 =>4(4t+1)+2(2t+4)-4(-4t)-30=0 =>$$$$16t+4+4t+8+16t-30=0 =>36t=18=>t=\frac{1}{2}$$ Подставляем полученное значение в систему и получаем координаты пересечения прямой и плоскости $$\begin{cases}x=4t+1\\y=2t+4 \\z=-4t \end{cases} =>\begin{cases}x=3\\y=5 \\z=-2 \end{cases}$$
