Метод математической индукции состоит из трех шагов.
1-й шаг. Проверяем истинность высказывания - выражение кратно 8 при \(n=1\) $$5^1+2*3^1-3 = 5+6-3=8$$ Получили число кратное 8. Переходим ко второму шагу.
2-й шаг. Предполагаем, что при \(n=n\) выражение кратно 8.
3-й шаг. Если докажем, что при \(n = n+1\) выражение будет кратно 8, то истинность утверждения, что заданное выражение кратно 8 при всех \(n \in N\) будет доказано.
Рассмотрим следующее утверждение: возьмем два любые числа A и B. Эти два числа кратны 8, т.е. их можно представить в виде \(A=a*8\) и \(B=b*8\). Найдем разность этих чисел \(A-B = a*8-b*8 = 8*(a-b)\). Мы получили, что если два числа кратны 8, то и их разность кратна 8.
Используем это утверждение в доказательстве.
Возьмем два числа:
\(5^n + 2*3^n - 3\) - известно, что кратно 8
\(5^{n+1} + 2*3^{n+1} - 3\) - о кратности ничего не известно.
Найдем разность этих чисел, если она будет кратно 8, то и число \(5^{n+1} + 2*3^{n+1} - 3\) тоже кратно 8.
Приступаем:
$$5^{n+1} + 2*3^{n+1} - 3 - 5^n - 2*3^n + 3 = 5*5^n + 2*3*3^n - 5^n - 2*3^n =$$$$ = 4*5^n+4*3^n=4(5^n+3^n)$$ Получили выражение, которое кратно 4. Число 8 = 2*4, т.е. если доказать, что \(5^n+3^n\) - кратно 2, т.е. это число четное, то утверждение, что \(5^{n+1} + 2*3^{n+1} - 3\) кратно 8 будет доказано. Рассмотрим слагаемые \(5^n\) - последовательность чисел 5, 25 , 625 ... , т.е.эти все числа заканчиваются на 5, т.е. они не четные, рассмотрим \(3^n\) - последовательность чисел 3, 9, 27, 81, 243 ... это последовательность чисел, которые заканчиваются на 1,3,7,9 , т.е. это все нечетные числа. Т.о. оба слагаемых - нечетные числа, а сумма двух нечетных чисел - четное число, т.е. кратное 2.
Получили, что выражение \(5^{n+1} + 2*3^{n+1} - 3\) - кратно 8.
Вывод: выражение \(5^n + 2*3^n - 3\) кратно 8 \(\forall n \in N\)
