Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

задано три точки А (3;4), В (0;2), С (-5;3) перевірити чи утворюють вони трикутник. та записати рівн


0 Голосов
гончаренко ка
Posted Октябрь 13, 2013 by гончаренко катерина миколаївна
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 7166

задано три точки А (3;4), В (0;2), С (-5;3) перевірити чи утворюють вони трикутник. та записати рівняння сторін трикутника, рівняння висоти трикутника, та його медіани, знайти висоти трикутника, знайти площину трикутника, знайти кут а

Теги: уравнение прямой, уравнение прямой проходящей через две точки, свойства прямых

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 13, 2013 by Вячеслав Моргун

Для трех точек A(3;4), B(0;2), C(-5;3) проверяем


1. Образуют ли они треугольник.
Есть только один случай, когда три точки не образуют  треугольник - когда они лежат на одной прямой, тогда треугольник вытягивается в отрезок. Проверку можно сделать графическим путем (нанести точки на координатную плоскость и соединить их отрезками) или проверить, лежат ли эти точки на одной прямой. Для этой проверки составим уравнение прямой проходящей через, например точки A и B и проверим лежит ли точка C на этой прямой.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1)

Подставляем координаты точек A(3;4), B(0;2), получаем \frac{x-3}{0-3}=\frac{y-4}{2-4}=>\frac{x-3}{3}=\frac{y-4}{2} =>y = \frac{2}{3}x+2
Теперь осталось только подставить координаты третьей точки в это уравнение, получаем 3 = \frac{2}{3}(-5)+2 =>3 = -\frac{4}{3} получили ложное равенство, т.е. через точку C(-5;3) прямая не проходит.


2. Записать уравнения сторон треугольника.
Уравнение стороны AB было получено в п.1 y = \frac{2}{3}x+2


Уравнение стороны AC получим аналогично \frac{x-3}{-5-3}=\frac{y-4}{3-4} =>y = \frac{1}{8}x+\frac{29}{8}

Для стороны BC \frac{x-0}{-5-0}=\frac{y-2}{3-2} =>y = -\frac{1}{5}x + 2


3. Уравнения высот треугольника.
В задаче известны координаты вершин, а в п.2 получили уравнения сторон треугольника. Высоты будут проходить через вершину треугольника перпендикулярно противолежащей к этой вершине стороне. Известно свойство перпендикулярных прямых k_1*k_2=-1

где k_1,k_2 - угловые коэффициенты прямых.


Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины A(3;4). Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданным направлением. Направление прямой задается ее угловым коэффициентом k y-y_0=k(x-x_0) \quad (2)

Т.к. эта высота перпендикулярна прямой BC ее угловой коэффициент равен k_{A}=-\frac{1}{k_{BC}}  Из п.2 видим, что k_{BC} = -\frac{1}{5}=> k_{A}=5. Подставляем координаты точки A(3;4) и значение углового коэффициента в уравнение прямой и получаем y-4 = -5(x+3) =>y = 5x-11


Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины B(0;2).
Высота будет перпендикулярна прямой AC, тогда угловой коэффициент будет равен k_{B}= -8. Запишем уравнение прямой y - 2 = -8(x-0) =>y = -8x+2


Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины C(-5;3).
Высота будет перпендикулярна прямой AB, тогда угловой коэффициент будет равен k_{C}= -\frac{3}{2}. Запишем уравнение прямой y - 3 = -\frac{3}{2}(x+5) =>y = -\frac{3}{2}x-\frac{9}{2}


4. Уравнения медиан треугольника.
Медиана проходит через вершину треугольника и середину противолежащей этой вершине сторону . Координаты середины между вершинами рассчитываются как \frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}. Т.о. у нас есть две точки через которые проходит прямая, т.е. воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки.


Найдем медиану из вершины A(3;4). Серединой между вершинами BC будет точка с координатами M_{BC}(\frac{0-5}{2};\frac{2+3}{2}) =>M_{BC}(-\frac{5}{2};\frac{5}{2}). Подставляем координаты точек в уравнение прямой (1),получаем \frac{x-3}{-\frac{5}{2}-3}=\frac{y-4}{\frac{5}{2}-4} =>y = \frac{3}{11}x+\frac{35}{11}


Найдем медиану из вершины B(0;2). Серединой между вершинами AC будет точка с координатами M_{AC}(\frac{3-5}{2};\frac{4+3}{2}) =>M_{AC}(-1;\frac{7}{2}). Подставляем координаты точек в уравнение прямой (1),получаем \frac{x-0}{-1-0}=\frac{y-2}{\frac{7}{2}-2} =>y = -\frac{2}{3}x+2


Найдем медиану из вершины C(-5;3). Серединой между вершинами AB будет точка с координатами M_{AB}(\frac{3+0}{2};\frac{4+2}{2}) =>M_{AB}(\frac{3}{2};3). Подставляем координаты точек в уравнение прямой (1),получаем \frac{x+5}{\frac{3}{2}+5}=\frac{y-3}{3-3} =>y = 3

Получили знаменатель при y равный 0, т.е. прямая параллельная оси Ox  и проходит через точку C(-5;3)


5. Найти площадь треугольника. Площадь треугольника равна S=\frac{1}{2}ah

где a - длина стороны, а h - высота, опущенная на эту сторону. Рассмотрим высоту из вершины B и сторону AC. Длину стороны AС находим по формуле длины отрезка a = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
Подставляем координаты вершин и получаем AC = \sqrt{(-5-3)^2+(3-4)^2} = \sqrt{64+1} = \sqrt{65}
Найдем координаты точки пересечения высоты из вершины B и прямой AC \begin{cases}y = \frac{1}{8}x+\frac{29}{8}\\y = -8x+2\end{cases}=>\begin{cases} \frac{1}{8}x+\frac{29}{8} = -8x+2\\ y = -8x+2\end{cases}=>\begin{cases}x =- \frac{1}{5}\\ y = \frac{18}{5}\end{cases}
Зная две координаты, найдем длину высоты h = \sqrt{(-\frac{1}{5}-0)^2+(\frac{18}{5}-2)^2} = \sqrt{\frac{13}{5}}
Находим площадь, подставляем полученные длины стороны и высоты S = \frac{1}{2}AC*h= \frac{1}{2}\sqrt{65}*\sqrt{\frac{13}{5}} = \frac{13}{2}


6. Найти угол A. Длина одного катета была получена в п. 5 h = \sqrt{\frac{13}{5}}. Найдем длину отрезка AB=\sqrt{(0-3)^2+(2-4)^2} =\sqrt{9+4}=\sqrt{13}, тогда угол будет равен \sin A = \frac{h}{AB} = \frac{\sqrt{\frac{13}{5}}}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{5}}

Угол будет равен A = \arcsin \frac{1}{\sqrt 5}


Все прямые нанесены на рисунок.
Красные линии - треугольник
Зеленые - высоты.
Синие - медианы.
Синие - медианы.



Другие ответы


0 Голосов
гончаренко ка
Posted Октябрь 13, 2013 by гончаренко катерина миколаївна

спасибо)))))))))))))))))))))))))))))