Решение:
Запишем комплексное число \(z = \frac{2(1-i*\sqrt{3})}{i(\sqrt{3}-i)}\) в алгебраической форме.
выполним действия над комплексными числами учтем, что \(i^2 = -1\), получаем $$ z = 2 \frac{1-i\sqrt{3}}{i(\sqrt{3}-i)} = 2 \frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}} = $$ избавимся в знаменателе от комплексного числа, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное к знаменателю, получаем$$ 2 \frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}*\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}} = 2 \frac{1-2i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2}{1+3}= $$$$ 2 \frac{1-2i\sqrt{3}-3}{4}= 1+i\sqrt{3}$$
Ответ: комплексное число \(z\) в алгебраической форме \(z =1+i\sqrt{3}\)
Запишем комплексное число \(z = 1+i\sqrt{3}\) в тригонометрической форме
тригонометрическая форма комплексного числа $$ z = \rho (\cos(\phi) + i\sin(\phi)) \quad (2)$$ где \(\rho = |z|\), \( \phi = Arg z\)
найдем модуль числа z
\(|z| = \sqrt{x^2+ y^2} \), где действительная часть комплексного \(x = \Re z = 1 \), мнимая часть комплексного числа \(y = \Im z = \sqrt{3}\), получаем $$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 $$
найдем аргумент комплексного числа $$arg z = \begin{cases} arctg\frac{y}{x}, \text{ если x > 0}\\ \pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y}\geq 0 \\ -\pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y < 0} \\ \frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y > 0 } \\ -\frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y < 0 } \end{cases}$$ т.к. \(x = 1 > 0\), \(y = \sqrt{3} > 0\), получаем \(arg z = arctg\frac{y}{x} = arctg\frac{\sqrt{3}}{1} = \frac{\pi}{3}\) подставляем в (2) $$z = 2 (\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$$
Ответ: комплексное число \(z\) в тригонометрической форме \(z = 2 (\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))\)
Запишем комплексное число \(z = 1+ i\sqrt{3}\) в показательной форме
Любое комплексное число можно записать в показательной форме \(z = \rho e^{i\phi}\), где \(\rho = |z|\), \(\phi = Arg z\), подставляем значения модуля и аргумента $$z = 2e^{\frac{\pi}{3}i} $$
Ответ: комплексное число \(z\) в показательной форме \( z = 2e^{\frac{\pi}{3}i} \)
\(z =2 \frac{1-i\sqrt{3}}{i(\sqrt{3}-i)}= 1+i\sqrt{3} = 2 (\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2e^{\frac{\pi}{3}i} \)
