Задание: доказать методом математической индукции, что число \(3^{3n+2}+5*2^{3n+1} \quad (1)\) кратно 19
Решение:
Алгоритм доказательства методом математической индукции
состоит из 3-х шагов.
Рассмотрим подробно:
1 -й шаг.
Проверяем истинность утверждения при \(n = 0\), т.е. проверим истинность формулы (1) для числа \(a_0 = 3^{3*0+2}+5*2^{3*0+1} = 9+10=19\).
Получили число \(a_0 = 19\) кратно 19.
2 - й шаг.
Предположим (будем считать), что число \(a_n = 3^{3n+2}+5*2^{3n+1} \quad (2) \) кратно 19.
3-й шаг.
Необходимо доказать кратность 19 числа при \(n = n+1\): \(a_{n+1} = 3^{3(n+1)+2}+5*2^{3(n+1)+1} = 3^{3n+5}+5*2^{3n+4} \quad (3)\).
Проведем преобразование формулы (3) так, чтобы получить формулу (2). Предварительно преобразуем (2) $$3^{3n+2}+5*2^{3n+1} = 3^{3n+2} (1+ 5*\frac{2^{3n+1}}{3^{3n+2}}) $$ Из данной формулы следует т.к. \(3^{3n+2}\) - не кратно 19, то \(1+ 5*\frac{2^{3n+1}}{3^{3n+2}} \quad (4)\) кратно 19.
Преобразуем (3) к этому виду (4) $$ 3^{3n+5}+5*2^{3n+4} = 3^3*3^{3n+2}+5*2^3*2^{3n+1} = $$$$ = 3^{3n+2}(3^3+5*2^3*\frac{2^{3n+1}}{3^{3n+2}}) =$$ Приведем выражение в скобках к виду \( 1+ 5*\frac{2^{3n+1}}{3^{3n+2}} \) $$ = 3^{3n+2}(3^3+5*2^3*\frac{2^{3n+1}}{3^{3n+2}} + 2^3 - 2^3) = 3^{3n+2}(3^3+2^3*(1+5*\frac{2^{3n+1}}{3^{3n+2}}) - 2^3)=$$$$ = 3^{3n+2}(19+2^3*(1+5*\frac{2^{3n+1}}{3^{3n+2}}))$$ Рассмотрим выражение в скобках \(19+2^3*(1+5*\frac{2^{3n+1}}{3^{3n+2}})\). Это сумма двух чисел - 19, которое кратно 19 и число \((1+5*\frac{2^{3n+1}}{3^{3n+2}})\) - которое кратно 19 в соответствии с п.2
Вывод: методом математической индукции было доказано, что число \(3^{3n+2}+5*2^{3n+1}\) - кратно 19.
