Для того, чтобы найти сумму числового ряда, необходимо доказать его сходимость. Сходимость можно доказать несколькими способами:
1. используя признаки сходимости Даламбера , Коши, Раабе, Гаусса
2. на основании определения сходящихся рядов: ряд сходится, если сходится последовательность частичных сумм \(S_n = \sum_{k=1}^{\infty} u_k\), если \(S=\lim_{n \to \infty}S_n\)
1. Проверим на сходимость первым методом. Проверим, используя признак сходимости Раабе (я проверял по признаку Даламбера, получил 1, т.е. этот признак не дал ответ о сходимости). Применяем признак сходимости Раабе $$\lim_{n \to \infty}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) = L$$, где при \(L >1 \) - ряд сходится, при \(L < 1 \) - ряд расходится, при \(L = 1 \) - ничего о сходимости сказать нельзя. Проверяем $$\lim_{n \to \infty}n(\frac{\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}}{\frac{1}{(3(n+1) -2)(3(n+1)+1)}}-1) = \lim_{n \to \infty}n(\frac{(3(n+1) -2)(3(n+1)+1)}{(3n-2)(3n+1)}-1)=$$$$= \lim_{n \to \infty}n(\frac{(3n+3-2)(3n+3+1)}{(3n-2)(3n+1)}-1)=\lim_{n \to \infty}n(\frac{3n+3+1}{3n-2}-1)=$$$$ =\lim_{n \to \infty}n(\frac{3n+4-3n+2}{3n-2})=\lim_{n \to \infty}\frac{6n}{3n-2}=2$$Получили \(L = 2\) - ряд сходится.
2. Находим сумму ряда. Для этого нужно найти последовательность частичных сумм \(S_n\). В задании дробь, в знаменателе которой произведение. При нахождении частичной суммы такого типа рядов очень помогает представление дроби в виде суммы двух дробей. Для этого применяется метод неопределенных коэффициентов. Решаем методом неопределенных коэффициентов: $$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}$$Получили два коэффициента \(A,B\), которые нужно найти. В правой части приведем дроби к общему знаменателю и сравним числители двух дробей равенства. Они должны быть равными. $$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A(3n+1)+B(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)} => 1 = A(3n+1)+B(3n-2)$$Получили равенство, в котором слева и справа два многочлена. Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях. Зафиксируем это и составим систему уравнений $$\begin{gathered} n^1 | 0 = 3A + 3B \\ n^0 | 1 = A - 2B \end{gathered}=>\begin{cases}3A + 3B = 0\\A - 2B = 1\end{cases}=>\begin{cases}A =-B \\-B - 2B = 1\end{cases}=>\begin{cases}A =\frac{1}{3} \\ B=-\frac{1}{3}\end{cases}$$ Получили \(a_n = \frac{1}{3}(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1})\). Запишем формулу частичных сумм $$S_n = \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} ... + \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1})$$получили, что при суммировании остаются только первый и последний члены последовательности частичных сумм $$S_n = \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3n+1})$$Теперь осталось только найти сумму ряда \(S\), которая равна $$S = \lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3n+1}) = \frac{1}{3}$$ Ответ: сумма ряда равна \(S_n = \frac{1}{3}\)
