Исследуем функцию \( y =x*\ln^2(x)\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. \(x > 0 \) \(D_f= (0; +\infty) \)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на области определения точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = -x*\ln^2(-x)\) функция является ни четной ни нечетной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(x*\ln^2(x)= 0 => x_1 = 0, x_2 = 1 \) , получили одну точку пересечения с осью Ox, которая попадает в рассматриваемый интервал \((0; +\infty)\). Координаты точки пересечения с осью Ox \(( 1; 0)\)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили два интервала знакопостоянства на области определения.
интервал \((0; 1)\) найдем значение функции в любой точке \( f(0.5) =x*\ln^2(x)> 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \(( 1; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \( f(2) =x*\ln^2(x)> 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: точка \(x=0 \) данная точка не попадает в область определения функции, т.е. точек пересечения осью Oy нет.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x*\ln^2(x))' = \ln^2(x) + 2x \ln(x)\frac{1}{x} =\ln(x)(\ln(x)+ 2)$$ приравняем к 0 $$\ln(x)(\ln(x)+ 2)= 0 => x_1 = 1; \quad x_2= e^{-2} \approx 0.135 $$ В область определения попадают обе точки. Координаты стационарных точек \(( 1; 0) \) и \((e^{-2}; 4e^{-2}) \).
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки на рассматриваемом интервале и делит его на три интервала монотонности.
интервал \((0; e^{-2})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0.1) = \ln(x)(\ln(x)+ 2)> 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((e^{-2};1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0.5) = \ln(x)(\ln(x)+ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = \ln(x)(\ln(x)+ 2)> 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
для \(x =e^{-2}\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((e^{-2}; 4e^{-2}) \)
для \(x =1\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е.функция имеет точку минимума с координатами\((1 ;0)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (\ln(x)(\ln(x)+ 2))'=\frac{1}{x}(\ln(x)+ 2) +\ln(x)\frac{1}{x}= \frac{2}{x}(\ln(x)+ 1)$$ Приравняем к нулю $$\frac{2}{x}(\ln(x)+ 1)= 0 => x= e^{-1} \approx 0.37$$
На рассматриваемом интервале \((0; +\infty)\) функция имеет одну критическую точку второго рода ( точку возможного перегиба). Рассмотрим выпуклость функции в пределах рассматриваемого интервала.
интервал \((0; e^{-1})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0.3) =\frac{2}{x}(\ln(x)+ 1)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((e^{-1}; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) =\frac{2}{x}(\ln(x)+ 1) > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
На рассматриваемом интервале функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю - критическая точка второго рода ( точку возможного перегиба). Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку
точка \(x =e^{-1}\): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. одну критическую точку второго рода ( точку возможного перегиба).
Координаты точек перегиба \((e^{-1};e^{-1})\)
8. Асимптоты.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=x*\ln^2(x)\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} =k $$ Находим предел$$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x*\ln^2(x)}{x} =\lim_{x \to +\infty}\ln^2(x)= \infty$$ получили \(k= \infty\) график функции наклонной асимптоты не имеет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем предел $$\lim_{x \to \infty}x*\ln^2(x)= \infty$$график функции горизонтальной асимптоты не имеет .
Вертикальная асимптота.
Рассмотрим поведение функции на границе области определения в рассматриваемом интервале в точке \( x = 0\)
$$ \lim_{x \to 0+0}x*\ln^2(x)= 0*\infty$$ Применяем правило Лопиталя $$\lim_{x \to 0+0}x*\ln^2(x) =\lim_{x \to 0+0}\frac{1}{\frac{1}{x}}\ln^2(x) = $$$$ = \lim_{x \to 0+0} 2\ln(x)*\frac{1}{x}*(-x^2) = -\lim_{x \to 0+0} 2x\ln(x) =$$ повторно применяем правило $$ = -\lim_{x \to 0+0} 2x\ln(x) =-2\lim_{x \to 0+0} \frac{1}{\frac{1}{x}}\ln(x) =-2\lim_{x \to 0+0} \frac{1}{x}*(-x^2)=0$$ в окрестности левой границы график функции стремится к \( 0\)
9. График функции.
Построим график функции.
