Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відстань між її фокусами дорівнює 26, а ексцентриситет \( \frac{13}{12}\).
Рішення: Розглянемо канонічне рівняння гіперболи $$ \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2}= 1 \quad (1)$$ знак мінус стоїть перед змінної y, це означає, що дійсна вісь - вісь Ox, уявна вісь - вісь Oy. Вершини гіперболи лежать на вісі Ox симетрично відносно початку координат.
Нам потрібно знайтипіввісі \(a;b\).Для їх знаходження скористаємося співвідношенням, що зв'язує піввісь і фокусна відстань \(c^2 = a^2 + b^2 \), підставляємо значення \(2c = 26 => c=13 \), \(13^2 = a^2 + b^2 \quad (2)\).
Ексцентриситет гіперболи будемо шукати за формулою $$ \epsilon = \frac{c}{a} => \frac{c}{a} = \frac{13}{12} => a = 12 $$Підставляємо значення \(а\) в (2) $$13^2 = 12^2 + b^2 => b=5$$Отримали \(а > b\), тобтодійсна вісь - вісь Ox, уявна вісь - вісь Oy.
Підставляємо значення півосей в рівняння гіперболи (1)$$\frac{x^2}{12^2} -\frac{y^2}{5^2}= 1$$
Відповідь : рівняння гіперболи \(\frac{x^2}{12^2} -\frac{y^2}{5^2}= 1\)
