Написати канонічне рівняння еліпса, який проходить через точку М(6, 0), якщо фокальна відстань дорівнює 4.
Рішення: Як відомо, канонічне рівняння еліпса $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ Необхідно знайти значення піввісь еліпса \(a; b \). Складемо систему з двох рівнянь
1. підставимо відомі координати точки М(6, 0) в канонічні рівняння еліпса \( \frac{x ^ 2}{a ^ 2} + \frac{y ^ 2}{b ^ 2} = 1 => \frac{ 36}{a ^ 2} = 1 => a^2 = 36 \)
2. скористаємося формулою зв'язку фокусної відстані і піввісь \(a^2 = b^2 + c^2 \). Згідно умови фокальна відстань (відстань між фокусами) \(2c = 4 => c = 2 \).
Підставляємо рівняння в систему (в даному випадку можна вирішити вже усно) $$ \begin{cases} a^2 = 36 \\ a^2 = b^2 + 4 \end{cases} => \begin{cases} a^2 = 36 \\ b^2 = 32 \end{cases} $$
Отримали рівняння еліпса $$ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{32} = 1 $$
Відповідь: рівняння еліпса \( \frac{x^2} {36} + \frac{y^2} {32} = 1 \)
