Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка y'' + 4y=x^2+1 с начальными условиями y(0)=-1; \quad y'(0)=1
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение y'' + 4y = 0
Решение будем искать в виде y = e^{λx}, тогда y' = λe^{λx}; \quad y'' = λ^2e^{λx}. Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение λ^2e^{λx} + 4e^{λx}= 0 => сокращаем на e^{λx}, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)λ^2 + 4 = 0 => найдем корни характеристического уравнения λ_{1} = -2i; \quad λ_{2} = 2i Получили комплексные корни им соответствуют два решения y_{λ_1}(x) = e^{λ_1x} = e^{-2ix}; \quad y_{λ_2}(x) = e^{λ_2x} = e^{2ix} Применяем формулу Эйлера e^{\pm iz} = \cos(z) \pm i\sin(z), получаем y_{λ_1}(x) = e^{-2ix} = \cos(2x) - i\sin(2x); \quad y_{λ_2}(x) = e^{2ix} = \cos(2x) + i\sin(2x) Из теории известно, что корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения y_1(x) = \cos(2x) и y_2(x) = \sin(2x).
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация y_{одн} = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)
2. Решаем неоднородное уравнение y'' + 4y=x^2+1
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной C_1=C_1(x); \quad C_2=C_2(x) в виде y_{част}(x) = C_1(x) \cos(2x) + C_2(x) \sin(2x) \quad (1).
Для нахождения функций C_1(x);C_2(x), подставим результаты в систему \begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases} Из уравнения видно, что b(x) = x^2+1; \quad a_0(x) = 1. Из однородного решения получаем, что y_1(x) = \cos(2x); \quad y_2(x) = \sin(2x) подставляем в систему \begin{cases} C'_1(x) \cos(2x) + C'_2(x) \sin(2x) = 0\\ C_1'(x)(-2\sin{2x}) + C_2'(x)*2\cos(2x) = x^2+1 \end{cases} => решаем систему уравнений \begin{cases} C'_1(x) = -C'_2(x) \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \\ -C'_2(x) \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}(-2\sin{2x}) + C_2'(x)*2\cos(2x) = x^2+1 \end{cases} =>\begin{cases} C'_1(x) = -C'_2(x) \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \\ C'_2(x) \frac{2}{\cos(2x)} = x^2+1 \end{cases} =>\begin{cases} C'_1(x) = -\frac{x^2+1}{2}\sin(2x) \\ C'_2(x) = \frac{x^2+1}{2}\cos(2x) \end{cases} => Интегрируем полученные решения системы уравнений и получим искомые функции \begin{cases} \int C'_1(x)dx = - \int \frac{x^2+1}{2}\sin(2x)dx \\ \int C_2'(x)dx = \int \frac{x^2+1}{2}\cos(2x)dx \end{cases} => \begin{cases} C_1(x) = \frac{1}{4} x^2 \cos(2 x) - \frac{1}{4}x\sin(2x)+\frac{1}{8}\cos(2 x) \\ C_2(x)= \frac{1}{4} x^2 \sin(2 x) + \frac{1}{4}x\cos(2x)+\frac{1}{8}\sin(2 x) \end{cases}
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
y_{неодн} = C_1(x) \cos(2x) + C_2(x) \sin(2x) = = ( \frac{1}{4} x^2 \cos(2 x) - \frac{1}{4}x\sin(2x)+\frac{1}{8}\cos(2 x)) \cos(2x) + (\frac{1}{4} x^2 \sin(2 x) + \frac{1}{4}x\cos(2x)+\frac{1}{8}\sin(2 x)) \sin(2x) = = \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{8}
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида y_{об} = y_{одн} +y_{неодн}
подставляем результаты из п.1,п.2 y_{об} =C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) + \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{8} \quad (2)
4. Подставляем начальные условия y(0)=-1; \quad y'(0)=1
y(0) = -1 => C_1 \cos(2*0) + C_2 \sin(2*0) + \frac{1}{4} 0^2 + \frac{1}{8} = -1 => C_1=- \frac{9}{8} y'(0) =1 => -C_1*2\sin(2*0) + C_2*2 \cos(2*0) + \frac{1}{2} 0 = 1 => C_2 = \frac{1}{2} Подставляем в (2) y_{об} =- \frac{9}{8}\cos(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{8}
Ответ: решение дифференциального уравнения y'' + 4y=x^2+1 с начальными условиями y(0)=-1; \quad y'(0)=1 равно y_{об} =- \frac{9}{8}\cos(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{8}
