Определение: Числа вида \(x+iy\) получили название комплексного числа, в котором различают действительную \(x\) и мнимую часть \(y\). Обозначим \(z = x+iy\), тогда действительная часть обозначается как \(\text{Re z} = x\), а мнимая \(\text{Im z} = y\). Т.о. мы перешли к решению задачи. Комплексное число \(z = \frac{-1 + 5\sqrt{3}i}{\sqrt 3 + 4i}\) представлено комплексными числами в числителе и знаменателе. Нам необходимо записать наше комплексное число \(z\) в общем виде \(z = x+iy\) для этого нужно избавиться от дроби и комплексного числа в знаменателе \(\sqrt 3 + 4i\) . Умножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число к знаменателю.
Определение: два комплексных числа \(z = x+iy\) и \(\overline{z}=x-iy\) называются сопраженными.
т.е. умножаем на число \(\sqrt 3 - 4i\). Мы это сделали, чтобы воспользоваться свойством сопряденных комплексных чисел \((x+iy)*(x-iy) = x^2+y^2\) получаем $$ = \frac{-1 + 5\sqrt{3}i}{\sqrt 3 + 4i} * \frac{\sqrt 3 - 4i}{\sqrt 3 - 4i} = \frac{(-1 + 5\sqrt{3}i)(\sqrt 3 - 4i)}{ 3 + 16} =$$откроем скобки в числителе $$= \frac{(-1 + 5\sqrt{3}i)(\sqrt 3 - 4i)}{19} =\frac{-\sqrt 3 + 4i + 15i - 20\sqrt 3 i^2}{19} =$$учтем , что \(i^2 = -1\) и соберем вместе мнимую и действительную части числа$$=\frac{ 19i + 19\sqrt 3}{19} =\sqrt 3 + i$$Мы преобразовали дробь и пришли к общей записи комплексного числа. Теперь можно ответить на вопросы:
1. найдем сопряженное число \(\overline{z} = \sqrt 3 - i\)
2. найдем действительную часть числа \(\text{Re z } = x = \sqrt 3\)
3. найдем мнимую часть числа \(\text{Im z } = y = 1\).
4. найдем \(|z|\) - модуль комплексного числа, который равен \(|z| = \sqrt{x^2+y^2} => |z| = \sqrt{3+1} = 2\).
5. найдем главное значение аргумента комплексного числа \(arg z = \phi = \text{arctg}\frac{\text{Im z}}{\text{Re z}} =\text{arctg}\frac{1}{\sqrt 3} = \frac{\pi}{6}\) при это помним, что главное значение аргумента комплексного числа находится в диаппазоне \(-\pi \leq \phi \leq \pi\).
6. найдем аргумент комплексного числа \(\text{Arg z} = \text{arg z} + 2\pi n\)=> \(\text{Arg z} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\)
