Найдем решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами \(x'' - 4x' - 12x = 3\) удовлетворяющее начальным условиям \(x(0)=0, x'(0)=-1\) операторным методом.
Пусть \(x(t) ≑ X(p)\), тогда по правилу дифференцирования оригинала $$f^{(n)}(t) ≑ p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f'(0)-...-f^{(n-1)}(0)$$ с учетом начальных условий \(x(0)=0, x'(0)=-1\) получаем
\(x'(t) ≑ pX(p) - x(0) = pX(p) \quad (1)\)
\(x''(t) ≑ p^2X(p) - px(0) - x'(0) = p^2X(p) +1 \quad (2)\)
Воспользуемся таблицей оригиналов и изображений (преобразование Лапласа): $$ t^n ≑ \frac{n!}{p^{n+1}}$$ получаем $$ 3 ≑ 3\frac{1}{p} \quad (3)$$Перейдем от дифференциального уравнения к операторному, подставив (1), (2), (3) в дифференциальное уравнение, получим $$ p^2X(p) +1 -4pX(p)-12X(p) = 3\frac{1}{p} => $$$$ p^3X(p) +p -4p^2X(p)-12pX(p) = 3=> $$$$ X(p) = \frac{3-p}{p^3-4p^2-12p} $$ разложим правую часть на элементарные дроби$$ X(p) = \frac{3-p}{p(p^2-4p-12)} =\frac{3-p}{p(p+2)(p-6)}$$ Применим метод неопределенных коэффициентов
Представим правильную рациональную дробь в виде суммыследующих дробей $$ \frac{3-p}{p(p+2)(p-6)}=\frac{A}{p} + \frac{B}{p+2} + \frac{C}{p-6} \quad (4)$$ приводим дроби к общему знаменателю $$\frac{3-p}{p(p+2)(p-6)}=\frac{A(p+2)(p-6)+Bp(p-6)+Cp(p+2)}{p(p+2)(p-6)}$$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(p\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$ 3-p =A(p+2)(p-6)+Bp(p-6)+Cp(p+2)$$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(p\) с равными степенями $$\begin{cases} 0 = A + B + C\\ -1 = -4A - 6B +2C \\ 3 = -12A \end{cases} => \begin{cases} B + C = 4 \\ - 6B +2C =-17 \\ A = -\frac{1}{4} \end{cases} =>\begin{cases} C = - \frac{1}{16} \\ B = \frac{5}{16} \\ A = -\frac{1}{4} \end{cases}$$ подставляем в (4) $$\frac{3-p}{p(p+2)(p-6)}= -\frac{1}{4}\frac{1}{p} +\frac{5}{16}\frac{1}{p+2} - \frac{1}{16}\frac{1}{p-6} $$ Воспользуемся опять таблицей $$ \frac{1}{(p-a)^n}≑ \frac{1}{(n-1)!}t^{n-1}e^{at}$$ Получаем
\(-\frac{1}{4}\frac{1}{p}≑-\frac{1}{4}\)
\(\frac{5}{16}\frac{1}{p+2}≑\frac{5}{16}e^{-2t}\)
\(-\frac{1}{16}\frac{1}{p-6}≑ -\frac{1}{16}e^{6t}\)
Переходя к оригиналам, получаем искомое решение$$x(t) =-\frac{1}{16}e^{6t} + \frac{5}{16}e^{-2t} -\frac{1}{4}$$
Ответ:решением дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами \(x'' - 4x' - 12x = 3\), удовлетворяющее начальным условиям \(x(0)=0, x'(0)=-1\) являетя \(x(t) =-\frac{1}{16}e^{6t} + \frac{5}{16}e^{-2t} -\frac{1}{4}\)
