Решить дифференциальное уравнение $y' + y*tg x = \sec x$

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка.

Схема решения подобных линейных уравнений первого порядка следующая:

1. Рассмотрим однородное линейное уравнение вида $\frac{dy}{dx} + f(x)y = 0$. В нашем случае это будет

$$y' + y*tg x =0$$ Решим его методом разделения переменных, т.е. перенесем все с $y$ влево, а все с $x$ вправо, получим $$\frac{dy}{dx} = -y*tg x => \frac{dy}{y} = - tg xdx$$ Интегрируем обе части уравнения и находим решение $$\int \frac{dy}{y} = - \int tg xdx => \ln y = \ln{\cos x} + C =>$$ $$\ln y = \ln{(\cos x*e^C)} =>$$ обозначим $C' = e^C$. Пропотенцируем обе части уравнения, получим $$y = C'*\cos x$$ Получили решение однородного линейного уравнения, где $C'$ - постоянная.

2. Введем функцию $v(x)$ вместо постоянной $C'$ и подставим в неоднородное уравнение полученное выражение $y = v*\cos x$, получим

$$v'*\cos x =\sec x => \frac{dv}{dx} = \frac{1}{\cos^2x}$$ Решим полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных $$dv = \frac{1}{\cos^2x}*dx => \int dv = \int \frac{1}{\cos^2x}*dx =>$$ $$v = tg x + C$$
3. Получили из п.1. $y = v*\cos x$, а из п.2 $v = tg x + C$. Подставляем 2 в 1, это и будет решением общего линейного уравнения $$y = (tg x + C)\cos x => y = \sin x + C*\cos x$$

Ответ: $y = \sin x + C*\cos x$