Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка.
Схема решения подобных линейных уравнений первого порядка следующая:
1. Рассмотрим однородное линейное уравнение вида \(\frac{dy}{dx} + f(x)y = 0\). В нашем случае это будет $$y' + y*tg x =0$$Решим его методом разделения переменных, т.е. перенесем все с \(y\) влево, а все с \(x\) вправо, получим $$\frac{dy}{dx} = -y*tg x => \frac{dy}{y} = - tg xdx$$Интегрируем обе части уравнения и находим решение $$\int \frac{dy}{y} = - \int tg xdx => \ln y = \ln{\cos x} + C =>$$$$\ln y = \ln{(\cos x*e^C)} =>$$обозначим \(C' = e^C\). Пропотенцируем обе части уравнения, получим $$y = C'*\cos x$$Получили решение однородного линейного уравнения, где \(C'\) - постоянная.
2. Введем функцию \(v(x)\) вместо постоянной \(C'\) и подставим в неоднородное уравнение полученное выражение \(y = v*\cos x\), получим $$ v'*\cos x =\sec x => \frac{dv}{dx} = \frac{1}{\cos^2x}$$Решим полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных $$dv = \frac{1}{\cos^2x}*dx => \int dv = \int \frac{1}{\cos^2x}*dx =>$$$$v = tg x + C$$
3. Получили из п.1. \(y = v*\cos x\), а из п.2 \(v = tg x + C\). Подставляем 2 в 1, это и будет решением общего линейного уравнения $$y = (tg x + C)\cos x => y = \sin x + C*\cos x$$
Ответ: \(y = \sin x + C*\cos x\)
