Решение:
1. вычислим \( \frac{i^{19}-1}{(i+1)^{12}} = \)
Воспользуемся свойством мнимой единицы \(i^2 = -1\), тогда получим \(i^{19} = (i^{2})^9*i = (-1)^9*i = -i\) $$\frac{i^{19}-1}{(i+1)^{12}} = -\frac{i+1}{(i+1)^{12}} = \quad (1)$$ Рассмотрим знаменатель \( (i+1)^{12} = ((i+1)^2)^6\) Найдем значение \((i+1)^2 = i^2+2i+1 = -1+2i+1 = 2i\), получаем, что \( ((i+1)^2)^6 = (2i)^6 = 2^6*i^6 = 2^6*(i^2)^3 = 64*(-1)^3 = -64\) Подставляем результат в (1) $$ -\frac{i+1}{(i+1)^{12}} = -\frac{i+1}{-64} = \frac{1}{64} + \frac{1}{64}i$$
Ответ: \( \frac{i^{19}-1}{(i+1)^{12}} = \frac{1}{64} + \frac{1}{64}i\)
2. вычислим \( Arctg(\frac{i}{2}) = \)
Восплдзуемся формулой обратной тригонометрической функции $$Arctg(z) = -\frac{i}{2}Ln(\frac{1+iz}{1-iz})$$ подставляем значение \(z = \frac{i}{2}\), получаем $$Arctg(\frac{i}{2}) = -\frac{i}{2}Ln(\frac{1+i\frac{i}{2}}{1-i\frac{i}{2}}) = -\frac{i}{2}Ln(\frac{1-\frac{i}{2}}{1+\frac{i}{2}}) = -\frac{i}{2}Ln(\frac{1}{3}) \quad (2)$$Логарифмическая функция \( Ln(z)\), где z \( i \ne 0\) равна $$ Ln(z) = \ln(|z|) + i arg(z) + 2\pi ki $$ $$ Ln(\frac{1}{3}) = \ln(\frac{1}{3}) + i arg(\frac{1}{3}) + 2\pi ki = \ln(\frac{1}{3}) + 2\pi ki = $$ так как \(arg(\frac{1}{3}) = 0 \), получаем $$ Ln(\frac{1}{3}) = \ln(\frac{1}{3}) + 2\pi ki $$ подсавляем результат в (2) $$ Arctg(\frac{i}{2}) = -\frac{i}{2}(\ln(\frac{1}{3}) + 2\pi ki) = -\frac{i}{2}\ln(\frac{1}{3}) + \pi k$$ Главным значением \( Ln(z)\) называется то значение, которое получается при k = 0 \( ln(z) = \ln(|z|) + i arg(z) \), находим $$ Arctg(\frac{i}{2}) = -\frac{i}{2}\ln(\frac{1}{3}) = \frac{\ln(3)}{2}i$$
Ответ: \( Arctg(\frac{i}{2}) = \frac{\ln(3)}{2}i\)
