Завдання: Визначити напрямні косинуси прямих
1)\( \frac{x-1}{4} = \frac{y-5}{-3} = \frac{z+2}{12} \)
2) \( \frac{x}{12} = \frac{y-7}{9} = \frac{z+3}{20} \)
Рішення: Кут між двома прямими \(phi\) в просторі вимірюється кутом між їхніми напрямними векторами \( \vec{s_1}(m_1; n_1; p_1)\) і \( \vec{s_2}(m_2; n_2; p_2) \)
При цьому слід зазначити, що, вибравши на одній із прямих напрямний вектор, напрямлений в протилежну сторону, дістанемо другий кут, який доповнює перший до \(2\pi\).
Формула кута між прямими в просторі $$ \cos( \phi) = \frac{|\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}|}{|\vec{s_1}||\vec{s_2}|} = \frac{m_1*m_2+n_1*n_2+p_1*p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}} \quad (1) $$
сам кут визначаємо $$ \arccos(\cos (\phi)) = \arccos( \frac{|\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}|}{|\vec{s_1}||\vec{s_2}|}) = \arccos( \frac{m_1*m_2+n_1*n_2+p_1*p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}) $$ Ця формула визначає кут, на який треба повернути одну пряму в напрямку іншої, щоб вони наклалися.
Записуємо напрямні вектори прямих:
1)\( \frac{x-1}{4} = \frac{y-5}{-3} = \frac{z+2}{12} \) - \( \vec{s_1}(4;-3;12)\)
2) \( \frac{x}{12} = \frac{y-7}{9} = \frac{z+3}{20} \) - \( \vec{s_2}(12;9;20)\)
Підставимо у формулу косинуса (1) $$ \cos( \phi) = \frac{4*12+(-3)*9+12*20}{\sqrt{4^2+(-3)^2+12^2}\sqrt{12^2+9^2+20^2}} \approx 0.8 $$
Відповідь: напрямний косинус заданих прямих $$\cos( \phi) \approx 0.8 => \phi \approx 36.58^0$$
