Визначити напрямні косинуси прямих $\frac{x-1}{4} = \frac{y-5}{-3} = \frac{z+2}{12}$

Завдання: Визначити напрямні косинуси прямих
1)$\frac{x-1}{4} = \frac{y-5}{-3} = \frac{z+2}{12}$
2) $\frac{x}{12} = \frac{y-7}{9} = \frac{z+3}{20}$

Рішення: Кут між двома прямими $phi$ в просторі вимірюється кутом між їхніми напрямними векторами $\vec{s_1}(m_1; n_1; p_1)$ і $\vec{s_2}(m_2; n_2; p_2)$
При цьому слід зазначити, що, вибравши на одній із прямих напрямний вектор, напрямлений в протилежну сторону, дістанемо другий кут, який доповнює перший до $2\pi$.
Формула кута між прямими в просторі

$$\cos( \phi) = \frac{|\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}|}{|\vec{s_1}||\vec{s_2}|} = \frac{m_1*m_2+n_1*n_2+p_1*p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}} \quad (1)$$
сам кут визначаємо  $$\arccos(\cos (\phi)) = \arccos( \frac{|\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}|}{|\vec{s_1}||\vec{s_2}|}) =  \arccos( \frac{m_1*m_2+n_1*n_2+p_1*p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}})$$  Ця формула визначає кут, на який треба повернути одну пряму в напрямку іншої, щоб вони наклалися.

Записуємо напрямні вектори прямих:
1)$\frac{x-1}{4} = \frac{y-5}{-3} = \frac{z+2}{12}$ - $\vec{s_1}(4;-3;12)$
2) $\frac{x}{12} = \frac{y-7}{9} = \frac{z+3}{20}$ - $\vec{s_2}(12;9;20)$ 

Підставимо у формулу косинуса (1)

$$\cos( \phi) =  \frac{4*12+(-3)*9+12*20}{\sqrt{4^2+(-3)^2+12^2}\sqrt{12^2+9^2+20^2}} \approx 0.8$$
Відповідь:  напрямний косинус заданих прямих   $$\cos( \phi) \approx 0.8 =>  \phi \approx 36.58^0$$