Решить дифференциальное уравнение $2x^3y' = y(2x^2-y^2)$

Это уравнение можно представить в виде $y' = f(\frac{y}{x})$, а также в виде $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$, где $M(x,y); N(x,y)$ - функции одинаковых степеней. Представим в первом виде $2x^3y' = y(2x^2-y^2) => y' = \frac{y(2x^2-y^2)}{2x^3}$, т.е. мы показали, что это однородное дифференциальное уравнение и решать его будем методом замены $y = tx => dy = xdt + tdx$.

Решаем уравнение $$2x^3y' = y(2x^2-y^2) =>$$ применяем замену $$2x^3\frac{xdt + tdx}{dx} = tx(2x^2-(tx)^2) =>2x^3\frac{xdt}{dx}  + 2x^3t = 2tx^3-(tx)^3 =>$$ $$2x^3\frac{xdt}{dx} = -(tx)^3 => 2\frac{xdt}{dx} = -t^3 =>$$ в левую часть уравнения переносим все члены с $t$, а в правую с $x$ $$2\frac{dt}{t^3} = -\frac{dx}{x} =>$$ мы потеряли два решения $x = 0; t = 0$, в конце проверим, являются ли они решением или нет.  Проинтегрируем обе части $$\int 2\frac{dt}{t^3} = -\int \frac{dx}{x} =>2*\frac{1}{-2t^2} = - \ln|x| +C$$ $$\frac{1}{t^2} = \ln|x| +C$$ применяем обратную замену $y = tx => t = \frac{y}{x}$, получаем $$\frac{1}{(\frac{y}{x})^2} = \ln|x| +C => y^2 = \frac{x^2}{\ln|x| +C} => y = \pm\ \frac{x}{\sqrt{\ln|x| +C}}$$ Проверяем, являются ли решением $x = 0; t = 0$, т.к. $y = tx => t = \frac{y}{x} =>$ $t = 0$ если $y = 0$. Рассмотрим ответ, согласно ОДЗ логарифма $x \ne 0 =>$ $y$  тоже не равен 0 $y \ne 0$, т.е. $x = 0; y =0$ не являются решением дифференциального уравнения.

Ответ: $y = \pm\ \frac{x}{\sqrt{\ln|x| +C}}$