Записати канонічне рівняння кривої $$9x^2+25y^2-36x+50y-139=0$$

Записати канонічне рівняння кривої $9x^2+25y^2-36x+50y-139=0$. 

Знайти координати її фокусів та ексцентриситет

1. Запишемо рівняння кривої в канонічному вигляді. 

В даному рівнянні є тільки члени другого і першого ступеня (немає змішаного твори), тому канонічне рівняння будемо отримувати методом виділення повного квадрата.
$$9x^2+25y^2-36x+50y-139 = 0 = >$$ $$9(x^2-4x)+25(y^2+2y)-139=0 = >$$ доповнюємо члени в дужках до повного квадрата $$9(x^2-2*2x + 4 - 4)+25(y^2+2*1*y+1-1)-139 = 0 =>$$ $$9(x - 2)^2 - 36+25(y+1)^2-25-139 = 0  = >$$ $$9(x - 2)^2 +25(y+1)^2 - 200 = 0$$  Отримали рівняння еліпса. Як відомо канонічне рівняння еліпса $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$  розділимо рівняння на 200 $$\frac{(x - 2)^2}{\frac{200}{9}}  + \frac{(y + 1)^2}{8} = 1  => \quad (1)$$

Отримали рівняння еліпса.

2. Знайти координати фокусів, центру. 

Розглянемо отримане рівняння еліпса $\frac{(x - 2)^2}{\frac{200}{9}}  + \frac{(y + 1)^2}{8} = 1$ з рівняння видно, що координата центру еліпса $O (2; -1)$ .  

Також з рівняння визначимо півосі еліпса $a =  \frac{10\sqrt{2}}{3} \approx 4.71$ і $b = 2\sqrt{2} \approx 2.83$. 
Знайдемо координати фокусів. Визначимо, на якій осі лежить фокальна вісь $F_1F_2$. Т.я. $a  >  b$, то фокальна вісь лежить на (уздовж) осі Ox, тому координати фокусів будуть наступними:  $F_1(-c+x_0; 0 +y_0)$ і $F_2 (c+x_0; 0+y_0)$, де $c = \sqrt{a ^ 2-b ^ 2} =>$ $$c = \sqrt{\frac{200}{9} - 8 } = \frac{8\sqrt{2}}{3} \approx 3.77$$ де $(x_0;y_0)$ - координати центру еліпса $O (-1; -4)$.

Координати фокусів будуть наступні $F_1 (- 3.77 + 2; 0 - 1)$ і $F_2 ( 3.77 +2; 0 - 1)$ => $F_1 (- 1.77 ; - 1)$ і $F_2 ( 5.77; - 1)$. 

3. Знайти ексцентриситет еліпса. 

Ексцентриситет еліпса розраховується за формулою $\epsilon = \frac{c}{a}$ =>  $\epsilon = \frac{2\sqrt{7}}{8} = \frac{\frac{8\sqrt{2}}{3}}{ \frac{10\sqrt{2}}{3}} =\frac{4}{5} = 0.8$

4. Будуємо малюнок: