Дано координати вершин трикутника АВС: А(1 ; 0), В(-4 ; 5 ), С(8 ; -2)
Знайти:
1) довжину ВС
2) рівняння висоти АD на сторону ВС
3) рівняння медіани ВЕ
4) точку перетину медіани ВЕ та висоти АD
5) довжину висоти АD
6) кут між прямими АD і ВЕ
Розв'язання:
1) Довжина BC
Знайдемо довжину сторони BC , для цього скористаємося формулою відстані між двома точками d = \sqrt{(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} \quad (1) , підставляємо координати точок В (-4 ; 5 ), С (8 ; -2), отримуємо: d_{BC} = \sqrt{(8 + 4) ^ 2 + (- 2- 5) ^ 2} \approx 13,89
Відповідь: довжина сторони BC : d_{BC} \approx 13,89
2) Рівняння висоти АD на сторону ВС
План знаходження рівняння висоти AD наступний:
1. Знайдемо рівняння сторони BC за формулою рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (2.1)
Підставляємо координати вершин: В(-4 ; 5 ), С(8 ; -2) в рівняння (2.1) \frac{x+4}{8+4} = \frac{y-5}{-2-5} => y = \frac{8}{3}- \frac{7}{12}x Отримали рівняння прямої BC y = \frac{8}{3}- \frac{7}{12}x
Висота AD опущена з вершини Aна сторону BC , тобто з умови відома одна координата точки А(1 ; 0) і напрям - пряма перпендикулярна прямий BC .
Скористаємося властивістю кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих: k_1 = - \frac{1}{k_2} \quad (2.2) .
Знайдемо кутовий коефіцієнт висоти AD з рівняння (2.1)
Отримали k_{BC} = - \frac{7}{12} => k_{AD} = - \frac{1}{BC} = \frac{12}{7} .
Знайдемо рівняння висоти AD, для цього скористаємося рівнянням прямої що проходить через задану точку А(1 ; 0) в заданому напрямку k_{AD} = \frac{12}{7} y - y_0 = k (x - x_0) \quad (2.3) отримаємо y - 0 = \frac{12}{7} (x - 1) => y = \frac{12}{7}x - \frac{12}{7}
Відповідь: рівняння висоти AD: y = \frac{12}{7}x - \frac{12}{7}
3) Рівняння медіани BE
Для знаходження медіани BE є координата однієї точки В(-4 ; 5 ), а координати другої точки прямий E знайдемо як координати середини відрізка AC , де А(1 ; 0), С(8 ; -2) за формулою E(\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}) => E(\frac{1 + 8}{2}; \frac{0-2}{2}) => E(4,5; -1)
Знаходимо рівняння прямої BE за формулою рівняння прямої, що проходить через дві задані точки В(-4 ; 5 ) і E(4,5; -1) рівняння (1) \frac{x+ 4}{4,5 +4} = \frac{y-5}{-1 -5} => y = \frac{37}{17}- \frac{12}{17}x
Відповідь: рівняння медіани BE: y = \frac{37}{17}- \frac{12}{17}x
4) Точку перетину медіани ВЕ та висоти АD
Для знаходження точки перетину знайдемо рішення системи рівнянь. Складемо систему рівнянь з рівнянь медіани BE: y = \frac{37}{17}- \frac{12}{17}x і висоти AD: y = \frac{12}{7}x - \frac{12}{7} \begin{cases} y = \frac{37}{17}- \frac{12}{17}x\\ y = \frac{12}{7}x - \frac{12}{7} \end{cases} =>\begin{cases}17 y = 37- 12x\\ 7y =12x - 12\end{cases} => \begin{cases} 24y = 25\\ 7y =12x - 12\end{cases} =>\begin{cases} y = \frac{25}{24} \\ x \approx 1.61 \end{cases}
Відповідь: точку перетину медіани ВЕ та висоти АD має координати (1.61;1.04)
5) Довжину висоти АD
Довжину висоти AD будемо шукати як відстань від точки А(1 ; 0) до прямої BC за формулою d = \frac{| Ax_0 + By_0 + C |}{\sqrt{A^2 + B^2}} \quad(5) де (x_0; y_0) - координати точки С(1;2), а
Ax_0 + By_0 + C = 0 - загальне рівняння прямої, відстань до якої шукається. У нашому випадку це рівняння сторони BC
y = \frac{8}{3}- \frac{7}{12}x => 7x +12y - 32 =0 => A = 7; \quad B = 12 Підставляємо дані у формулу d_{AD} = \frac{| 7*1 +12*0 - 32 |}{\sqrt{7^2 + 12^2}} \approx 1.8
Відповідь: довжина висоти AD: d_{AD} \approx 1.8
6) Кут між прямими АD і ВЕ
Кут між прямими AD і BE - \beta будемо шукати за формулою tg \beta = | \frac{k_2-k_1}{1 + k_1k_2} | \quad (6)
k_1, k_2 - кутові коефіцієнти прямих AD і BE.
Кутовий коефіцієнт прямої AD дорівнює k_ {AD} = \frac{12}{7} .
Кутовий коефіцієнт прямої BE дорівнює k_ {BE} = - \frac{12}{17} .
Підставляємо кутові коефіцієнти (6) tg \beta = | \frac{ \frac{12}{17}-\frac{12}{7} }{1 +\frac{12}{17}(-\frac{12}{7})} | = \frac{24}{5} => \beta \approx 78^0
Відповідь: кут між прямими АD і ВЕ дорівнює: \quad \beta \approx 78^0
