Найдем производные функций:
1. Производная функции \(y = x\cos(x)\).
Применим формулу производной произведения \(y' = (g(x)f(x))' = g'(x)f(x) + g(x)f'(x) \).
Применяем формулу $$ y' = (x\cos(x))' = (x)'\cos(x) + x (\cos(x))' = \cos(x) - x\sin(x)$$
2. Производная функции \(y = tg(x)\).
Применим формулу производной частного функций \(y' = (\frac{g(x)}{f(x)})' = \frac{g'(x)f(x) - g(x)f'(x)}{f(x)^2} \).
Применяем формулу $$ y' = (tg(x))' = (\frac{\sin(x)}{\cos(x)})' = \frac{(\sin(x))'\cos(x) - \sin(x)(\cos(x))'}{\cos^2(x)} =>$$$$ y' = (tg(x))' = \frac{ \cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x)}{\cos^2(x)} => $$$$ y' = (tg(x))' = \frac{ \cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
3. Производная функции \(x+y+\arcsin(x)=0\).
Применяем производную суммы функций \((f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\), получаем $$ (x+y+\arcsin(x) )'= (0)' => (x)'+(y)'+(\arcsin(x) )'= (0)' =>$$$$ 1+y'+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}= 0 =>$$$$ y' = -1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
4. Производная функции \(y = \cos(e^{3x})\).
Применим формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\), получаем $$ y' = ( \cos(e^{3x}))' = \cos'(e^{3x})*e'^{3x}*(3x)' = -\sin(e^{3x})*e^{3x}*3 =>$$$$ ( \cos(e^{3x}))' = -3\sin(e^{3x})e^{3x}$$
