Найти: общее решение системы дифференциальных уравнений $$ \begin{cases} \frac{dx}{dt}= 3x+y+ \frac{1}{t}-4\ln(t) \\ \frac{dy}{dt} = -x+y+ \frac{1}{t} \end{cases}$$
Решение: будем решать систему дифференциальных уравнений методом приведения к уравнению высшего порядка.
Алгоритм решения системы линейный дифференциальных уравнений методом приведения к уравнению высшего порядка.
1. Возьмем первое дифференциальное уравнение и выразим одну из переменных $$ \frac{dx}{dt}= 3x+y+ \frac{1}{t}-4\ln(t) => y = \frac{dx}{dt} - 3x - \frac{1}{t} +4\ln(t) \quad (1)$$
2. Дифференцируем по \(t\) обе части полученного уравнения $$ \frac{dy}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} - 3 \frac{dx}{dt} + \frac{1}{t^2} +4\frac{1}{t} \quad (2)$$ Подставляем (1) и (2) во второе уравнение системы уравнений $$ \frac{dy}{dt} = -x+y+ \frac{1}{t} => $$$$ \frac{d^2x}{dt^2} - 3 \frac{dx}{dt} + \frac{1}{t^2} +4\frac{1}{t} = - x+(\frac{dx}{dt} - 3x - \frac{1}{t} +4\ln(t))+ \frac{1}{t}=>$$ $$ \frac{d^2x}{dt^2}- 4 \frac{dx}{dt} + 4x = 4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t} =>$$ Получили неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами \(x'' - 4x' +4x = 4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t}\)
3. Решаем однородное уравнение \( x'' - 4x' +4x = 0\)
Решение будем искать в виде \(x = e^{λt}\), тогда \(x' = λe^{λt}; \quad x'' = λ^2e^{λt}\). Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$ λ^2e^{λt} - 4λe^{λt} + 4e^{λt}= 0 =>$$ сокращаем на \(e^{λt}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)$$λ^2 - 4λ +4 = 0 =>$$ найдем корни характеристического уравнения $$ λ_{1} = 2; \quad λ_{2} = 2 $$ Получили действительные корни им соответствуют два решения $$x_{λ_1} = e^{λ_1t} = e^{2t}; \quad x_{λ_2} = te^{λ_2t} = te^{2t} $$ Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения \(x_1 = e^{2t}\) и \(x_2 = te^{2t}\).
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация $$ x(t) = C_1 e^{2t} + C_2te^{2t} $$
4. Решаем неоднородное уравнение \( x'' - 4x' +4x = 4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t} \)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной \(C_1=C_1(t); \quad C_2=C_2(t)\) в виде \(x_{част}(t) = C_1(t) e^{2t} + C_2(t)te^{2t} \quad (3)\).
Для нахождения функций \(C_1(t);C_2(t)\), подставим результаты в систему вида $$ \begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ Из уравнения видно, что \(b(t) = 4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t}; \quad a_0(t) = 1\).
Из однородного решения получаем, что \(x_1(t) = e^{2t}; \quad x_2(t) = te^{2t} \) подставляем в систему $$ \begin{cases} C'_1(t)*e^{2t} + C'_2(t)*te^{2t} = 0\\ C_1'(t)(2e^{2t}) + C_2'(t)(e^{2t}+2te^{2t}) = 4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t} \end{cases} => $$ решаем систему уравнений $$\begin{cases} C'_1(t) = - C'_2(t)*t \\ - C'_2(t)*t(2e^{2t}) + C_2'(t)(e^{2t} +2te^{2t}) = 4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t} \end{cases} =>$$$$\begin{cases} C'_1(t) = - C'_2(t)*t \\ - C'_2(t)*t*2e^{2t} + C_2'(t)e^{2t} + 2C_2'(t)te^{2t} = 4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t} \end{cases} =>$$$$\begin{cases} C'_1(t) = - C'_2(t)*t \\ C_2'(t)e^{2t} = 4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t} \end{cases} =>$$ интегрируем обе части второго уравнения $$\begin{cases} C'_1(t) = - \int (4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t})e^{-2t}tdt \\ \int C_2'(t)dt = \int (4\ln(t) - \frac{1}{t^2} - 4\frac{1}{t})e^{-2t}dt \end{cases} =>$$$$\begin{cases} C_1(t) = e^{-2 t}(2t\ln(t)-1+\ln(t)) \\ C_2(t) = \frac{1}{te^{2t}}(1-2t*\ln(t)) \end{cases} =>$$
Подставляем результат в (3) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
$$x_{неодн} = e^{-2t}(2t\ln(t)-1+\ln(t))e^{2t} + \frac{1}{te^{2t}}(1-2t*\ln(t))te^{2t} = \ln(t)$$
5. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида \(x_{об} = x_{одн} +x_{неодн} \)
подставляем результаты из п.31,п.4 $$x_{об} = C_1e^{2t} + C_2te^{2t} + \ln(t)$$
6. Решаем дифференциальное уравнение \( \frac{dx}{dt}= 3x+y+ \frac{1}{t}-4\ln(t) \)
Подставляем, полученное решение для \(x = C_1e^{2t} + C_2te^{2t} + \ln(t)\) . Предварительно найдем производную \( x'(t) = 2C_1e^{2t} + C_2e^{2t} +2C_2te^{2t} + \frac{1}{t} \) получаем $$ 2C_1e^{2t} + C_2e^{2t} +2C_2te^{2t} + \frac{1}{t} = 3(C_1e^{2t} + C_2te^{2t} + \ln(t))+y+ \frac{1}{t}-4\ln(t) => $$$$ y = - C_1e^{2t} - C_2te^{2t} +\ln(t)$$
7. Получаем общее решение системы дифференциальных уравнений $$ \begin{cases} x = C_1e^{2t} + C_2te^{2t} + \ln(t) \\ y = - C_1e^{2t} - C_2te^{2t} +\ln(t) \end{cases} $$
