Решение: решим линейное однородное уравнение второго порядка \( x^2y''+xy'=0\)
Применим метод понижения порядка производной, т.е. приведем дифференциальное уравнение второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка для этого введем замену \(y' = u => y'' = u'\), получили $$x^2u'+xu=0 = > xu'+u=0$$ получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Необходимо будет проверить отдельно, является \(x=0\) решением уравнения. Решаем его $$x \frac{du}{dx} = -u => \frac{du}{u} = - \frac{dx}{x} => $$ разделили переменные (переменная \(u\) влево,а переменная \(x\) вправо), интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} => \ln(u) = -\ln(x)+ln(С_1) =>$$ $$ \ln(u) = \ln( \frac{С_1}{x}) => u = \frac{С_1}{x}$$применяем обратную замену \(u = y'\), получаем $$ y' = \frac{С_1}{x} => $$ интегрируем обе части уравнения $$ \int y'dy = \int \frac{С_1}{x}dx => y = \ln(x)С_1 + С_2$$ Получили общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка $$ y_{об} = \ln(x)С_1 + С_2$$ Порверяем, является решеним \(x=0\), подставляем в общее решение, не является.
Ответ: Общее решение дифференциального уравнения второго порядка \( x^2y''+xy'=0\) является \( y_{об} = \ln(x)С_1 + С_2\)
