Решение: решим линейное однородное уравнение второго порядка \( x^2y''+xy'-y=0\)
В задании дано уравнение вида \(y''+p_1(x)y'+p_2(x)y = 0\). Для нахождения решения применим формулу Абеля $$ y = C_1y_1(x) + C_2y_1(x) \int \frac{1}{y^2_1(x)}e^{-\int p_1(x)dx}dx \quad (1)$$ Эта формула позволяет по одному известному решению найти общее решение дифференциального уравнения.
Рассмотрим наше уравнение $$ x^2y''+xy'-y=0 => y''+\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x^2}y=0$$ Отдельно нужно будет проверить решение \(x=0\). Из формулы видно. что решение \(y_1(x) = x\) - является решением дифференциального уравнения. Проверим это утверждение $$ x^2(x)''+x(x)'-x=0 => x-x =0$$
Для формулы Абеля получаем \(y_1(x) = x; \quad p_1(x) = \frac{1}{x}; \quad p_2(x) = \frac{1}{x^2}\).
Подставляем в формулу Абеля (1): $$ y _{об} = xC_1 + C_2x \int \frac{1}{x^2}e^{-\int \frac{1}{x}dx}dx \quad (2)$$ Находим интергал $$ \int \frac{1}{x^2}e^{-\int \frac{1}{x}dx}dx = \int \frac{1}{x^2}e^{-ln(x)}dx = \int \frac{1}{x^2*x}dx = -\frac{1}{2}x^{-2}$$ Подставляем в (2) $$ y _{об} = xC_1 + C_2x *( -\frac{1}{2}x^{-2}) => y _{об} = xC_1 - C_2\frac{1}{2x} => $$$$ y _{об} = xC_1 + \frac{1}{x}C_3$$
Ответ: общее решение дифференциального уравнения \( x^2y''+xy'-y=0\) равно \( y _{об} = xC_1 + \frac{1}{x}C_3\)
