Побудувати криву \(36x^2 + 64y^2 + 72x + 512y - 1244 = 0\).
Знайти координати її фокусів та ексцентриситет
1. Запишемо рівняння кривої в канонічному вигляді.
В даному рівнянні є тільки члени другого і першого ступеня (немає змішаного твори), тому канонічне рівняння будемо отримувати методом виділення повного квадрата.
$$ 36x^2 + 64y^2 + 72x + 512y - 1244 = 0 = > $$$$ 36(x^2 + 2x) + 64(y^2 + 8y) - 1244 = 0 = > $$ доповнюємо члени в дужках до повного квадрата $$ 36(x^2 + 2x +1-1) + 64(y^2 + 2*4y + 16-16) - 1244 = 0 = >$$$$ 36(x +1)^2 + 64(y + 4)^2 - 2304 = 0 = >$$ Отримали рівняння еліпса. Як відомо канонічне рівняння еліпса $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ розділимо рівняння на 2304 $$ \frac{(x +1)^2}{64} + \frac{(y + 4)^2}{36} = 1 =>\quad (1) $$
Отримали рівняння еліпса.
2. Знайти координати фокусів, центру.
Розглянемо отримане рівняння еліпса \( \frac{(x +1)^2}{64} + \frac{(y + 4)^2}{36} = 1 \) з рівняння видно, що координата центру еліпса \(O (-1; -4)\) .
Також з рівняння визначимо півосі еліпса \(a = 8 \) і \(b = 6 \).
Знайдемо координати фокусів. Визначимо, на якій осі лежить фокальна вісь \(F_1F_2 \). Т.я. \( a > b \), то фокальна вісь лежить на (уздовж) осі Ox, тому координати фокусів будуть наступними: \(F_1(-c+x_0; 0 +y_0) \) і \(F_2 (c+x_0; 0+y_0) \), де \(c = \sqrt{a ^ 2-b ^ 2} => \) $$c = \sqrt{8^2 - 6^2 } = 2\sqrt{7} \approx 5.29 $$ де \((x_0;y_0)\) - координати центру еліпса \(O (-1; -4)\).
Координати фокусів будуть наступні \( F_1 (- 5.29 -1; 0 - 4) \) і \(F_2 ( 5.29 -1; 0 - 4) \) => \( F_1 (- 6.29 ; - 4) \) і \(F_2 ( 4.29; - 4) \).
3. Знайти ексцентриситет еліпса.
Ексцентриситет еліпса розраховується за формулою \( \epsilon = \frac{c}{a} \) => \( \epsilon = \frac{2\sqrt{7}}{8} = \frac{\sqrt{7}}{4} \approx 0.66\)
4. Будуємо малюнок:
