2. Знайдемо координати вектора d (0; 12; -6) в цьому базисі.
Для цього вирішимо лінійне матричне рівняння $$ Ax = d $$
методом Гаусса
Складемо розширену матрицю системи \((A | d) \)
$$ (A | b) = \left (\begin {array} {c} 28 & 35 & 14 \\ 3 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end {array} \left | \begin {array} {c} 0 \\ 12 \\ -6 \end {array} \right. \right) = $$
шляхом найпростіших перетворень наведемо матрицю A до одиничної:
Прямий хід методу Гаусса
1. Виберемо елемент \(a_ {11} \) за провідний.
Для простоти розрахунків потрібно щоб він дорівнював 1, можна відняти з першого рядка і другу, яку помножимо на 9, отримуємо
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 3 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end {array} \left | \begin {array} {c} -108 \\ 12 \\ -6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {21} = 0 \), для цього складемо другий рядок і третю, яку помножимо на 3
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ -1 & 4 & 2 \end {array} \left | \begin {array} {c} -108 \\ -6 \\ -6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {31} = 0 \), для цього складемо третій рядок і першу
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ 0 & 39 & 7 \end {array} \left | \begin {array} {c} - 108 \\ -6 \\ -114 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {32} = 0 \), для цього віднімемо від третього рядка другу, помножену на 3
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ 0 & 3 & -14 \end {array} \left | \begin {array} {c} -108 \\ -6 \\ -96 \end {array} \right. \right) = $$
помножимо третій рядок на 4 а віднімемо з неї рядок 3
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ 0 & 0 & -63 \end {array} \left | \begin {array} {c} -108 \\ -6 \\ -378 \end {array} \right. \right) = $$
розділимо третій рядок на -63
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} - 108 \\ -6 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$
Прямий хід методу Гаусса закінчився, приступаємо до зворотного ходу.
отримаємо \(a_ {23} = 0 \), для цього віднімемо від другого рядка третій рядок, яку помножимо на 7
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} - 108 \\ -48 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {22} = 1 \), для цього розділимо другий рядок на 12
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} - 108 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {12} = 0 \), для цього віднімемо від першого рядка другу, яку помножимо на 35
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} 32 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {13} = 0 \), для цього віднімемо від першого рядка третю, яку помножимо на 5
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} 2 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$
Отримали розширену матрицю у якій матриця \(A \) - одинична, а матриця $$ x = \left (\begin {array} {c} 2 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right) $$
це є шукана матриця, координати вектора \(d \) в базисі \((a; b; c) \)
Відповідь: координати вектора \(d (0; 12; -6) \) в базисі \((a; b; c) \) \(x = \left (\begin {array} {c} 2 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right) \)