Найдем частные производные первого порядка от сложной функции двух переменных. Их будет две это z'_x и z'_y. При нахождении производной z'_x будем считать y = const z'_x = (\sqrt{2ху+у^2})'_x = \frac{1}{2}(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*2y = y*(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}Аналогисно ищем частную производную z'_y при этом будем считать x=const z'_y = (\sqrt{2ху+у^2})'_x = \frac{1}{2}(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*(2x+2y)=(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*(x+y)
Найдем частные произвоные второго порядка. Их будет 4, т.е. находим частные производные по x и y от полученных частных производных z'_x и z'_y. Найдем z^{(2)}_{xx}=(z'_x)'_x при этом y = const z^{(2)}_{xx} = (z'_x)'_x = (y*(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}})'_x=-\frac{1}{2}y*(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}-1}*2y=-y^2*(2ху+у^2)^{-\frac{3}{2}}Найдем z^{(2)}_{xy}=(z'_x)'_y при этом x = const z^{(2)}_{xy} = (z'_x)'_y = (y*(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}})'_y=(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}- \frac{1}{2}y*(2ху+у^2)^{-\frac{3}{2}}*(2x+2y) == \frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{1}{2}}} - y*\frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}*(x+y) = = \frac{2xy+y^2-xy-y^2}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{xy}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}} Найдем z^{(2)}_{yx}=(z'_y)'_x при этом y = const z^{(2)}_{yx} = (z'_y)'_x =((2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*(x+y))'_x = -\frac{1}{2}(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}-1}*2y(x+y)+(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}==\frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{1}{2}}}-y\frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}(x+y)=\frac{xy}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}} обращаю внимание на то, что для дважды дифференцируемых функций смешанніе частные производные равны z^{(2)}_{xy}=z^{(2)}_{yx}в ходе решения мы получили указанное равенство.
Найдем z^{(2)}_{yy}=(z'_y)'_y при этом x = const z^{(2)}_{yy} = (z'_y)'_y =((2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*(x+y))'_y = -\frac{1}{2}(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}-1}*(2x+2y)*(x+y)+(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}== \frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}*(x+y)^2= \frac{2xy+y^2-x^2-2xy-y^2}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}= = - \frac{x^2}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}
