Найти предел $$\lim_{x -> 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1})$$

Найдем предел функции

$$\lim_{x -> 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}) =$$ подставим значение предела $x=0$ и найдем его $$= \frac{1}{0}-\frac{1}{e^0-1} = \infty - \infty$$ Получили неопределенность, поэтому проведем некоторые преобразования функции $$\lim_{x -> 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}) = \lim_{x -> 0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)} = \frac{e^0-1-0}{0*(e^0-1)} = \frac{0}{0}$$ получилась неопределенность вида $\frac{0}{0}$, которую будем раскрывать при помощи правила Лопиталя $\lim_{x ->0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x ->0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ получим $$\lim_{x -> 0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)} = \lim_{x -> 0}\frac{(e^x-1-x)'}{(x(e^x-1))'} =$$ $$= \lim_{x -> 0}\frac{e^x-1}{e^x-1+x*e^x} = \frac{e^0-1}{e^0-1+0*e^0} =\frac{0}{0}$$ опять получили неопределенность, поэтому применим повторно правило Лопиталя $$\lim_{x -> 0}\frac{e^x-1}{e^x-1+x*e^x} =\lim_{x -> 0}\frac{(e^x-1)'}{(e^x-1+x*e^x)'} =$$ $$= \lim_{x -> 0}\frac{e^x}{e^x+e^x + x*e^x} = \frac{e^0}{e^0+e^0 + 0*e^0} = \frac{1}{1+1+0} = \frac{1}{2}$$ Ответ: $\lim_{x -> 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}) = \frac{1}{2}$