Для начала найдем вероятности извлечения шара конкретного цвета. Всего шаров n=10.
Вероятность извлечения шаров:
белого шара p(W) = \frac{3}{10} =0,3,
черного нара p(B) = \frac{5}{10}=0,5,
красного шара p(R) = \frac{2}{10}=0,2.
Найдем вероятность ничьи.
Начья возможна, если извлечен красный шар при одном испытании или извлечен красный шар при двух испытаниях во втором, при этом исход первого испытания - выпал черный шар (при извлечении белоги или красного шара игра заканчивается) и т.д. . Рассмотрим все возможные события при которых возможна ничья и рассчитаем вероятности
1. событие A_1 - ничья наступает на первом извлечении шара. Т.е. при первом извлечении выпал красный шар p(A_1)=p(R) = \frac{2}{10}=0,2
2. событие A_2 - ничья наступает на втором извлечении шара, первый шар был черный , а второй красным это событие запишем в виде следующей последовательности цветов шаров (BR). Вероятность первого шара - черного равна p(B) = \frac{5}{10}=0,5, при втором извлечении появляется красный шар при этом помним, что общее количество шаров уменьшилось на 1, получаем p(R) = \frac{2}{9}. Вероятность события A_2 находится по формуле произведения или совместного наступления событий p(A_2) = p(B)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{2}{9} = \frac{1}{9} = 0,111
3. событие A_3- ничья наступает на третьем извлечении шара. Последовательность цветов шаров (B_1B_2R), вероятности равны p(B_1) = \frac{5}{10}, p(B_2) = \frac{4}{9}, p(R) = \frac{2}{8}. Вероятность события A_3 равна p(A_3) = p(B_1)*p(B_2)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{2}{8} = \frac{1}{18} = 0,056
4. событие A_4 - ничья наступает на четвером извлечении шара. Последовательность цветов шаров (B_1B_2B_2R), вероятности p(B_1) = \frac{5}{10}, p(B_2) = \frac{4}{9}, p(B_3) = \frac{3}{8}, p(R) = \frac{2}{7}. Вероятность события A_4 равна p(A_4) = p(B_1)*p(B_2)*p(B_3)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8}*\frac{2}{7} = \frac{1}{42} = 0,024
5. событие A_5 - ничья наступает на пятом извлечении шара. Последовательность цветов шаров (B_1B_2B_3B_4R), вероятности равны p(B_1) = \frac{5}{10}, p(B_2) = \frac{4}{9}, p(B_3) = \frac{3}{8}, p(B_4) = \frac{2}{7}, p(R) = \frac{2}{6}. Вероятность события A_5 равна p(A_5) = p(B_1)*p(B_2)*p(B_3)*p(B_4)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8}*\frac{2}{7}*\frac{2}{6} = \frac{1}{126} = 0,008
6. событие A_6 - ничья наступает на пятом извлечении шара. Последовательность цветов шаров (B_1B_2B_3B_4R), вероятности равны p(B_1) = \frac{5}{10}, p(B_2) = \frac{4}{9}, p(B_3) = \frac{3}{8}, p(B_4) = \frac{2}{7}, p(B_5) = \frac{1}{6}, p(R) = \frac{2}{5}. Вероятность события A_6 равна p(A_6) = p(B_1)*p(B_2)*p(B_3)*p(B_4)*p(B_5)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8}*\frac{2}{7}*\frac{1}{6}*\frac{2}{5} = \frac{1}{630} = 0,002
Все, черные шары закончились, поэтомы бальше событий ничьей нет. Рассчитаем вероятность наступления ничьи, она находится по формуле суммы вероятностей P = p(A_1)+p(A_2)+p(A_3)+p(A_4)+p(A_5)+p(A_6) = 0,2 + 0,111 + 0,056 +0,024 + 0,008+0,002 = 0,401Ответ: вероятность того, что будет ничья равна P=0,401
Найдем вероятность победы начинающего игрока.
Задача решается аналогично предыдущей, только в втом случае будем учитывать черные и былый шар, при этом белый шар выпадает только начинающему играку, а черный только второму игроку. Получаем следующие события - последовательности извлечения шаров и вероятности этих событий
1. событие A_1 - последовательнось шаров (W), вероятность равна p(A_1) = p(W)=0,3
2. событие A_2 - последовательнось шаров (B_1B_2W), вероятности равны p(A_2) =p(B_1)*p(B_2)*p(W) =\frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8} = \frac{1}{12} = 0,083
3. событие A_3 - последовательнось шаров (B_1B_2B_3B_4W), вероятности равны p(A_3) = p(B_1)*p(B_2)*p(B_3)*p(B_4)*p(W) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8}*\frac{2}{7}*\frac{3}{6} = \frac{1}{84} = 0,012Вероятность победы начинающего игрока равна P = p(A_1)+p(A_2)+p(A_3) = 0,3 + 0,083 + 0,012 = 0,395Ответ: вероятность победы начинающего равна P = 0,395