Для начала найдем вероятности извлечения шара конкретного цвета. Всего шаров \(n=10\).
Вероятность извлечения шаров:
белого шара \(p(W) = \frac{3}{10} =0,3\),
черного нара \(p(B) = \frac{5}{10}=0,5\),
красного шара \(p(R) = \frac{2}{10}=0,2\).
Найдем вероятность ничьи.
Начья возможна, если извлечен красный шар при одном испытании или извлечен красный шар при двух испытаниях во втором, при этом исход первого испытания - выпал черный шар (при извлечении белоги или красного шара игра заканчивается) и т.д. . Рассмотрим все возможные события при которых возможна ничья и рассчитаем вероятности
1. событие \(A_1\) - ничья наступает на первом извлечении шара. Т.е. при первом извлечении выпал красный шар $$p(A_1)=p(R) = \frac{2}{10}=0,2$$
2. событие \(A_2\) - ничья наступает на втором извлечении шара, первый шар был черный , а второй красным это событие запишем в виде следующей последовательности цветов шаров \((BR)\). Вероятность первого шара - черного равна \(p(B) = \frac{5}{10}=0,5\), при втором извлечении появляется красный шар при этом помним, что общее количество шаров уменьшилось на 1, получаем \(p(R) = \frac{2}{9}\). Вероятность события \(A_2\) находится по формуле произведения или совместного наступления событий $$p(A_2) = p(B)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{2}{9} = \frac{1}{9} = 0,111$$
3. событие \(A_3\)- ничья наступает на третьем извлечении шара. Последовательность цветов шаров \((B_1B_2R)\), вероятности равны \(p(B_1) = \frac{5}{10}\), \(p(B_2) = \frac{4}{9}\), \(p(R) = \frac{2}{8}\). Вероятность события \(A_3\) равна $$p(A_3) = p(B_1)*p(B_2)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{2}{8} = \frac{1}{18} = 0,056$$
4. событие \(A_4\) - ничья наступает на четвером извлечении шара. Последовательность цветов шаров \((B_1B_2B_2R)\), вероятности \(p(B_1) = \frac{5}{10}\), \(p(B_2) = \frac{4}{9}\), \(p(B_3) = \frac{3}{8}\), \(p(R) = \frac{2}{7}\). Вероятность события \(A_4\) равна $$p(A_4) = p(B_1)*p(B_2)*p(B_3)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8}*\frac{2}{7} = \frac{1}{42} = 0,024$$
5. событие \(A_5\) - ничья наступает на пятом извлечении шара. Последовательность цветов шаров \((B_1B_2B_3B_4R)\), вероятности равны \(p(B_1) = \frac{5}{10}\), \(p(B_2) = \frac{4}{9}\), \(p(B_3) = \frac{3}{8}\), \(p(B_4) = \frac{2}{7}\), \(p(R) = \frac{2}{6}\). Вероятность события \(A_5\) равна $$p(A_5) = p(B_1)*p(B_2)*p(B_3)*p(B_4)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8}*\frac{2}{7}*\frac{2}{6} = \frac{1}{126} = 0,008$$
6. событие \(A_6\) - ничья наступает на пятом извлечении шара. Последовательность цветов шаров \((B_1B_2B_3B_4R)\), вероятности равны \(p(B_1) = \frac{5}{10}\), \(p(B_2) = \frac{4}{9}\), \(p(B_3) = \frac{3}{8}\), \(p(B_4) = \frac{2}{7}\), \(p(B_5) = \frac{1}{6}\), \(p(R) = \frac{2}{5}\). Вероятность события \(A_6\) равна $$p(A_6) = p(B_1)*p(B_2)*p(B_3)*p(B_4)*p(B_5)*p(R) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8}*\frac{2}{7}*\frac{1}{6}*\frac{2}{5} = \frac{1}{630} = 0,002$$
Все, черные шары закончились, поэтомы бальше событий ничьей нет. Рассчитаем вероятность наступления ничьи, она находится по формуле суммы вероятностей $$P = p(A_1)+p(A_2)+p(A_3)+p(A_4)+p(A_5)+p(A_6) = 0,2 + 0,111 + 0,056 +0,024 + 0,008+0,002 = 0,401$$Ответ: вероятность того, что будет ничья равна \(P=0,401\)
Найдем вероятность победы начинающего игрока.
Задача решается аналогично предыдущей, только в втом случае будем учитывать черные и былый шар, при этом белый шар выпадает только начинающему играку, а черный только второму игроку. Получаем следующие события - последовательности извлечения шаров и вероятности этих событий
1. событие \(A_1\) - последовательнось шаров \((W)\), вероятность равна $$p(A_1) = p(W)=0,3$$
2. событие \(A_2\) - последовательнось шаров \((B_1B_2W)\), вероятности равны $$p(A_2) =p(B_1)*p(B_2)*p(W) =\frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8} = \frac{1}{12} = 0,083$$
3. событие \(A_3\) - последовательнось шаров \((B_1B_2B_3B_4W)\), вероятности равны $$p(A_3) = p(B_1)*p(B_2)*p(B_3)*p(B_4)*p(W) = \frac{5}{10}*\frac{4}{9}*\frac{3}{8}*\frac{2}{7}*\frac{3}{6} = \frac{1}{84} = 0,012$$Вероятность победы начинающего игрока равна $$P = p(A_1)+p(A_2)+p(A_3) = 0,3 + 0,083 + 0,012 = 0,395$$Ответ: вероятность победы начинающего равна \(P = 0,395\)
