Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка \( y''' - 3y' - 2y = 9e^{2x}; y(0) = 0, y'(0) = -3, y''(0) = 3\).
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение третьего порядка
1. Решаем однородное уравнение \( y''' - 3y' - 2y = 0\)
Решение будем искать в виде \(y = e^{λx}\), тогда \(y' = λe^{λx}; \quad y'' = λ^2e^{λx}; \quad y''' = λ^3e^{λx}\). Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$ λ^3e^{λx}-3λe^{λx} - 2e^{λx}= 0 =>$$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)$$λ^3 -3λ-2 = 0 =>$$ найдем корни характеристического уравнения $$ λ_{1} = -1; \quad λ_{2} = -1; \quad λ_{3} = 2 $$ Получили действительные корни, им соответствуют решения
$$ y_{λ_1}(x) = e^{-x} \quad y_{λ_2}(x) = xe^{-x} \quad y_{λ_3}(x) = e^{2x} $$
Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения:
$$ y_1(x) = e^{-x} \quad y_2(x) = xe^{-x} \quad y_3(x) = e^{2x}$$
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация $$y_{одн} = C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3e^{2x}$$
2. Решаем неоднородное уравнение \(y''' - 3y' - 2y = 9e^{2x}\)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной \(C_1=C_1(x); \quad C_2=C_2(x)\) в виде \(y_{част}(x) =C_1(x)e^{-x}+C_2(x)xe^{-x}+C_3(x)e^{2x} \quad (1)\).
Для нахождения функций \(C_1(x);C_2(x)\), подставим результаты в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) + C'_3(x)y_3(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) + C'_3(x)y'_3(x) = 0 \\ C'_1(x)y''_1(x)+C'_2(x)y''_2(x) + C'_3(x)y''_3(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ Из уравнения видно, что \(b(x) = 9e^{2x}; \quad a_0(x) = 1\). Из однородного решения получаем, что \(y_1(x) =e^{-x}; \quad y_2(x) = xe^{-x}; \quad y_3(x) = e^{2x}\) подставляем в систему
$$ \begin{cases} C'_1(x)e^{-x}+C'_2(x)xe^{-x} + C'_3(x)e^{2x}= 0\\ C_1'(x)(-e^{-x}) + C_2'(x)(e^{-x}-xe^{-x})+ 2C'_3(x)e^{2x} = 0 \\ C_1'(x)e^{-x} + C_2'(x)(-2e^{-x} + xe^{-x})+ 4C'_3(x)e^{2x} = 9e^{2x}\end{cases} => $$ решаем систему уравнений
$$ \begin{cases} C'_1(x) = -C'_2(x)x - C'_3(x)e^{x} \\ C_2'(x) = - 3C'_3(x)e^{3x} \\ C_1'(x)e^{-x} + C_2'(x)(-2e^{-x} + xe^{-x})+ 4C'_3(x)e^{2x} = 9e^{2x} \end{cases} => $$
$$ \begin{cases} C'_1(x) = 3C'_3(x)xe^{3x} - C'_3(x)e^{3x} \\ C_2'(x) = - 3C'_3(x)e^{3x} \\ 3C'_3(x)xe^{2x} - C'_3(x)e^{2x} + 6C'_3(x)e^{2x} - 3C'_3(x)xe^{2x}+ 4C'_3(x)e^{2x} = 9e^{2x} \end{cases} => $$
$$ \begin{cases} C'_1(x) = 3C'_3(x)e^{3x}x - C'_3(x)e^{3x} \\ C_2'(x) = - 3C'_3(x)e^{3x} \\ 9C'_3(x)e^{2x} = 9e^{2x} \end{cases} => $$
$$ \begin{cases} C'_1(x) = 3e^{3x}x - e^{3x} \\ C_2'(x) = - 3e^{3x} \\ C'_3(x) = 1 \end{cases} => $$ Интегрируем полученные решения системы уравнений и получим искомые функции $$\begin{cases} \int C'_1(x)dx = \int (3e^{3x}x - e^{3x})dx \\ \int C'_2(x)dx = -\int 3e^{3x}dx \\ \int C'_3(x)dx = \int dx \end{cases} => $$$$\begin{cases} C_1(x) = xe^{3x} - \frac{2}{3}e^{3x} \\ C_2(x) = -e^{3x} \\ C_3(x) = x \end{cases} $$
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
$$y_{неодн} = (xe^{3x} - \frac{2}{3}e^{3x})e^{-x}+(-e^{3x})xe^{-x}+xe^{2x} => $$$$y_{неодн} = xe^{2x} - \frac{2}{3}e^{2x}-xe^{2x}+xe^{2x} => $$$$y_{неодн} = xe^{2x} - \frac{2}{3}e^{2x} $$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида \(y_{об} = y_{одн} +y_{неодн} \)
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} =C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3e^{2x} + xe^{2x} - \frac{2}{3}e^{2x} =>$$
$$y_{об} =C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3e^{2x} + xe^{2x} \quad (2)$$
4. Найдем честное решение, удовлетворяющее начальному условию \(y(0) = 0, y'(0) = -3, y''(0) = 3\)
Подставим в решение дифференциального уравнения начальное условие и найдем значение константы \(C_1;C_2;C_3\). Подставляем $$\begin{cases} y_{об} =C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3e^{2x} + xe^{2x} \\ y'_{об} = -C_1e^{-x}+C_2e^{-x}-C_2xe^{-x}+2C_3e^{2x} + e^{2x}+2xe^{2x} \\ y''_{об} = C_1e^{-x}-2C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}+4C_3e^{2x} + 4e^{2x}+4xe^{2x} \end{cases}$$ подставляем известные значения $$ \begin{cases} y(0)_{об} =C_1+C_3 = 0 \\ y'(0)_{об} = -C_1+C_2+2C_3+1 =-3 \\ y''(0)_{об} = C_1- 2C_2+4C_3 + 4 =3 \end{cases} =>$$$$ \begin{cases} C_1+C_3 = 0 \\ -C_1+C_2+2C_3 =-4 \\ C_1- 2C_2+4C_3 =-1 \end{cases} =>$$$$ \begin{cases} C_1 = -C_3 \\ C_2 =-4-3C_3 \\ -C_3- 2(-4-3C_3)+4C_3 =-1 \end{cases} =>$$$$ \begin{cases} C_1 = 1 \\ C_2 =-1 \\ C_3=-1 \end{cases} $$ Подставляем в решение дифференциального уравнения значения \(C_1=1;C_2=-1;C_3=-1\), получаем $$ y_{об} =e^{-x}-xe^{-x}-e^{2x}+xe^{2x} = e^{-x}(1-e^{3x})(1-x)$$
Ответ: решение дифференциального уравнения \(y''' - 3y' - 2y = 9e^{2x} \) удовлетворяющее начальному условию \(y(0) = 0, y'(0) = -3, y''(0) = 3\) равно \(y_{об} = e^{-x}(1-e^{3x})(1-x)\)
