\begin{cases}\log_{x^3-6x^2+12x-8}(10-x)\geq 0\\\frac{1}{x^2-14x+48}+\frac{1}{x^2-18x+80} \leq 0\end{cases} Начнем решение системы уравнение с определения ОДЗ. Для дробей - знаменатель не равен 0, а для логарифма основание логарифма \(x^3-6x^2+12x-8 \ne 1\) и \(x^3-6x^2+12x-8 > 0\). Составим систему уравнений для ОДЗ $$\begin{cases}x^2-14x+48 \ne 0\\x^2-18x+80 \ne 0 \\ x^3-6x^2+12x-8 >0 \\ x^3-6x^2+12x-8 \ne 1\end{cases}=> \begin{cases}x_1 \ne 8, x_2 \ne 6\\x_1 \ne 10, x_2 \ne 8\\ (x-2)^3 > 0 \\ (x-3)(x^2-3x+3) \ne 0 \end{cases}=>$$$$ \begin{cases}x_1 \ne 8, x_2 \ne 6\\x_1 \ne 10, x_2 \ne 8\\ x > 2 \\ x \ne 0 \end{cases} => \begin{cases}x_1 \ne 6, x_2 \ne 8, x_3 \ne 10 \\ x > 2 \end{cases} $$ОДЗ нашли, теперь решаем систему уравнений. Решим по отдельности неравенства с рассмотрением метода решения. Решим неравенство $$\log_{x^3-6x^2+12x-8}(10-x)\geq 0 =>$$данное неравенство проще решать методом рационализации при решении логарифмических неравенств.Для использования этого метода представим \(0= \log_{x^3-6x^2+12x-8} 1\), т.е. получили неравенство $$\log_{x^3-6x^2+12x-8}(10-x)\geq \log_{x^3-6x^2+12x-8} 1 =>$$Напомню суть метода рационализации: Метод рационализации при решении логарифмических неравенств: неравенство \(\log_{a(x)}f(x) > \log_{a(x)}g(x)\) сводится к решению системы неравенств в которую мы напишем ОДЗ логарифмических функций \(a(x) > 0; a(x) \ne 1\), а также \(f(x) > 0 ; g(x) >0\) и допишем неравенство $$(a(x) -1)(f(x)-g(x)) \geq 0$$это неравенство и является сутью данного метода, оно в себе содержит сразу два случая, которые рассматриваются при традиционном методе. Подставляем данные в неравенство этого метода и получим $$(x^3-6x^2+12x-8-1)(10-x -1) > 0 => (x-3)(x^2-3x+3)(x -9) < 0 => $$множители \(x^2-3x+3 >0\) при всех \(x\) больше 0$$(x-3)(x -9) < 0 => x \in (3;9)$$ Решим неравенство $$\frac{1}{x^2-14x+48}+\frac{1}{x^2-18x+80} \leq 0 => \frac{1}{(x-8)(x-6)}+\frac{1}{(x-8)(x-10)} \leq 0 => $$$$ \frac{x-10+x-6}{(x-8)(x-6)(x-10)} \leq 0 => 2\frac{x-8}{(x-8)(x-6)(x-10)} \leq 0 =>$$$$\frac{1}{(x-6)(x-10)} \leq 0 => (x-6)(x-10) \leq 0 => x \in [6;10]$$ Объединим полученные решения и ОДЗ в одну систему и найдем \(x\) $$\begin{cases}x_1 \ne 6, x_2 \ne 8, x_3 \ne 10 \\ x > 2 \\ x \in (3;9) \\ x \in [6;10] \end{cases} => x \in (6;8) \cup (8;9]$$Ответ: решением неравенство \(\begin{cases}\log_{x^3-6x^2+12x-8}(10-x)\geq 0\\\frac{1}{x^2-14x+48}+\frac{1}{x^2-18x+80} \leq 0\end{cases}\) являются все \(x \in (6;8) \cup (8;9]\)
