Найти частные решения дифференциального уравнения $$y"+2y'+y=-2sinx+x+2, \quad y(0)=1 y'(0)=2$$

Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка$y"+2y'+y=-2\sin(x)+x+2$, удовлетворяющее начальному условию$y(0)=1 y'(0)=2$

Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка

1. Решаем однородное уравнение $y"+2y'+y = 0$
Решение будем искать в виде $y = e^{λx}$, тогда $y' = λe^{λx}; \quad y'' = λ^2e^{λx}$. Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$λ^2e^{λx}+2λe^{λx} +e^{λx}= 0 =>$$ сокращаем на $e^{λx}$, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений) $$λ^2 +2λ+1 = 0=> (λ + 1)^2 =0$$ найдем корни характеристического уравнения $$λ_{1,2} = -1$$ Получили действительные корни им соответствуют два решения (учтем, что корни одинаковые) $$y_{λ1}(x) = e^{λ_1x} =e^{-x}; \quad y_{λ_2}(x) = xe^{λ_2x} = xe^{-x}$$ Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения $y_1(x) =e^{-x}$ и $y_2(x) = xe^{-x}$.

Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация $$y_{одн} = C_1e^{-x}+ C_2xe^{-x}$$

2. Решаем неоднородное уравнение$y"+2y'+y=-2\sin(x)+x+2$
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной $C_1=C_1(x); \quad C_2=C_2(x)$ в виде $y_{част}(x) =C_1(x)e^{-x}+ C_2(x)xe^{-x}\quad (1)$.
Для нахождения функций $C_1(x);C_2(x)$, подставим результаты в систему $$\begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ Из уравнения видно, что $b(x) =-2\sin(x)+x+2; \quad a_0(x) = 1$. Из однородного решения получаем, что $y_1(x) =e^{-x}; \quad y_2(x) =xe^{-x}$ подставляем в систему $$\begin{cases} C'_1(x)e^{-x}+C'_2(x)xe^{-x}= 0\\ -C_1'(x)e^{-x} +C_2'(x)(e^{-x} - xe^{-x}) =-2\sin(x)+x+2\end{cases} =>$$ решаем систему уравнений $$\begin{cases} C'_1(x) = -C'_2(x)x \\ C_2'(x)xe^{-x} +C_2'(x)e^{-x} -C_2'(x)xe^{-x} =-2\sin(x)+x+2\end{cases} =>$$ $$\begin{cases} C'_1(x) = -C_2'(x)x \\ C_2'(x)e^{-x} =-2\sin(x)+x+2\end{cases} =>\begin{cases} C'_1(x) = -(-2\sin(x)+x+2)e^{x}x \\ C_2'(x)= (-2\sin(x)+x+2)e^{x}\end{cases}$$ Интегрируемполученные решения системы уравнений и получим искомые функции $$\begin{cases} \int C'_1(x)dx = - \int(-2\sin(x)+x+2)e^{x}xdx \\ \int C_2'(x)dx= \int (-2\sin(x)+x+2)e^{x}dx\end{cases} =>$$ $$\begin{cases} C_1(x) =-e^x (x^2-\cos(x)+x \cos(x)-x\sin(x)) \\ C_2(x)=e^x (1+x+\cos(x)-\sin(x)) \end{cases}$$

Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения 
$$y_{неодн} = -(x^2-\cos(x)+x \cos(x)-x\sin(x))+ x(1+x+\cos(x)-\sin(x))=>$$ $$y_{неодн} = x+\cos(x)$$

3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнениявида $y_{об} = y_{одн} +y_{неодн}$
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} =C_1e^{-x}+ C_2xe^{-x} +x+\cos(x)$$

4. Найдем честное решение, удовлетворяющее начальному условию$y(0)=1; y'(0)=2$
Подставим в решение дифференциального уравнения начальное условие и найдем значение константы $C_1;C_2$. Подставляем $$\begin{cases}y(0)_{об} =C_1e^{-0}+ C_2*0e^{-0} + 0+\cos(0) = 1\\y'(0)_{об} = -C_1e^{-0}+ C_2e^{-0} -C_2*0*e^{-0}+ 1 -\sin(0)=2\end{cases}=>$$ $$\begin{cases}C_1+ 1 = 1\\-C_1 + C_2+ 1 =2\end{cases}=> \begin{cases}C_1= 0\\C_2= 1 \end{cases}$$

Ответ: решение дифференциального уравнения $y"+2y'+y=-2\sin(x)+x+2$ удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1; y'(0) = 2$ равно $y_{об} = xe^{-x} +x+\cos(x)$