Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную линиями \( x=y^2+1, \quad x+y=3 \)
Строим кривые:
В данном случае удобнее рассматривать функции как функции \(x(y)\), а при строительстве поменяем оси местами.
1. \( x = y^2+1 \) - парабола.
Ветви параболы направлены вверх. Парабола сдвинута вверх на 1 вдоль оси Ox.
2. \( x+y=3 => x = 3 - y \) - уравнение прямой.
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры \(ABC\)
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми \(y_1=g(x)\) и \(y_2=f(x)\), причем функция \(f(x) > g(x)\), то определенный интеграл \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx\) равен площади фигуры этой фигуры.
Согласно условия задачи \(x_1 = y^2+1; \quad x_2 = 3 - y \), тогда искомая площадь фигуры \(ABC\) равна $$S_{ABC} = \int_A^C(x_2(y) - x_1(y))dy =
\int_A^C(3 - y - y^2 - 1)dy$$ для нахождения интеграла нужно найти координаты \(y\) точек A и C. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases} x = y^2+1 \\ x = 3 - y \end{cases} => \begin{cases} y_1 = 1;y_2 = -2 \\ x_1 = 2; x_2 = 5 \end{cases} $$ Подставляем координаты \(y\) точек в интеграл $$S_{ABC} = \int_{-2}^{1}(2 - y - y^2)dy = $$ Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем $$ = 2y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}|_{-2}^{1} = 2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3} - (- 4 - 2 + \frac{8}{3}) = \frac{9}{2}$$
Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями \( x=y^2+1, \quad x+y=3 \) равна \(S_{ABCD} = \frac{9}{2}\)
