0 Голосов
|
 |
| Posted Январь 4, 2016 by Ткаченко Яна Михайловна |
|
|
- Нахождение длин сторон треугольника.
Длина стороны АВ = корень((Bx - Ax)2 + (By - Ay)2)
- Длина стороны АВ: |АВ| = корень((8 - 9)2 + (8 - (-14))2) = 22.023
- Длина стороны BC: |BC| = корень((14 - 8)2 + (0 - 8)2) = 10
- Длина стороны CA: |CA| = корень((9 - 14)2 + (-14 - 0)2) = 14.866
- Нахождение внутренних углов треугольника.
Угол А - это угол мужду сторонами (векторами) AB и AC
cos(A) = |
ABx·ACx + ABy·ACy |
|AB|·|AC| |
Здесь вектор AB = (ABx ABy) = (Bx - Ax By - Ay),
вектор AC = (ACx ACy) = (Cx - Ax Cy - Ay)
- Угол A
АВ = (-1 22)
АC = (5 14)
|АВ| = корень((8 - 9)2 + (8 - (-14))2) = 22.023
|AC| = корень((14 - 9)2 + (0 - (-14))2) = 14.866
cos(A) = |
-1·5 + 22·14 |
= 0.925, тогда угол A = arccos(0.925) = 22.332° |
22.023·14.866 |
- Угол B
BA = (1 -22)
BC = (6 -8)
|BA| = корень((9 - 8)2 + (-14 - 8)2) = 22.023
|BC| = корень((14 - 8)2 + (0 - 8)2) = 10
cos(B) = |
1·6 + (-22)·(-8) |
= 0.826, тогда угол B = arccos(0.826) = 34.31° |
22.023·10 |
- Угол C
CA = (-5 -14)
CB = (-6 8)
|CA| = корень((9 - 14)2 + (-14 - 0)2) = 14.866
|CB| = корень((8 - 14)2 + (8 - 0)2) = 10
cos(C) = |
-5·(-6) + (-14)·8 |
= -0.552, тогда угол B = arccos(-0.552) = 123.504° |
14.866·10 |
- Уравнения высот.
Уравнение высоты CHc, проведенной через вершину C к стороне AB : |
X - Cx |
= |
Y - Cy |
, |
CHcx |
CHcy |
где CHcx и CHcy - координаты направляющего вектора прямой (высоты) CH
Чтобы избежать нулей в знаменателе запишем уравнение высоты в виде:
(X - Cx)·CHcy=(Y - Cy)·CHcx или
X·CHcy-Y·CHcx=Cx·CHcy-Cy·CHcx
Условие перпендикулярности двух прямых: AB·CH = ABx·CHcx + ABy·CHcy = 0
Можем положить CHcx=-ABy, CHcy=ABx
- Уравнение высоты AHa: X·AHay-Y·AHax=Ax·AHay-Ay·AHax
BCx·AHax + BCy·AHay = 0->6·AHax + (-8)·AHay = 0
Полагаем AHax=-BCy=8, AHay=BCx=6
Получаем уравнение высоты AHa: 6·x-8·y=9·6-(-14)·8=166 или 1·x-1.333·y=27.667
Уравнение высоты BHb: X·BHby-Y·BHbx=Bx·BHby-By·BHbx
ACx·BHbx + ACy·BHby = 0->5·BHbx + 14·BHby = 0
Полагаем BHbx=-ACy=-14, BHby=ACx=5
Получаем уравнение высоты BHb: 5·x-(-14)·y=8·5-8·(-14)=152 или 1·x-(-2.8)·y=30.4
Уравнение высоты CHc: X·CHcy-Y·CHcx=Cx·CHcy-Cy·CHcx
ABx·CHcx + ABy·CHcy = 0->-1·CHcx + 22·CHcy = 0
Полагаем CHcx=-ABy=-22, CHcy=ABx=-1
Получаем уравнение высоты CHc: (-1)·x-(-22)·y=14·(-1)-0·(-22)=-14 или 1·x-22·y=14
Уравнения медиан.
Уравнение медианы, соединяющей вершину C с серединой стороны AB
Найдем точку Dc - середина стороны AB: Dcx = |
Bx + Ax |
, Dcy = |
By + Ay |
2 |
2 |
Уравнение медианы CDc: |
x - Cx |
= |
y - Cy |
Dcx - Cx |
Dcy - Cy |
Уравнение медианы, соединяющей вершину A с серединой стороны
-
-
Найдем точку Da - середина стороны BC: Dax = |
8 + 14 |
=11 , Day = |
8 + 0 |
=4 |
2 |
2 |
Уравнение медианы ADa: |
x - 9 |
= |
y - (-14) |
, |
x - 9 |
= |
y - (-14) |
11 - 9 |
4 - (-14) |
2 |
18 |
- Уравнение медианы, соединяющей вершину B с серединой стороны CA
Найдем точку Db - середина стороны CA: Dbx = |
14 + 9 |
=11.5 , Dby = |
0 + (-14) |
=-7 |
2 |
2 |
Уравнение медианы BDb: |
x - 8 |
= |
y - 8 |
, |
x - 8 |
= |
y - 8 |
11.5 - 8 |
-7 - 8 |
3.5 |
-15 |
- Уравнение медианы, соединяющей вершину C с серединой стороны AB
Найдем точку Dc - середина стороны AB: Dcx = |
9 + 8 |
=8.5 , Dby = |
-14 + 8 |
=-3 |
2 |
2 |
Уравнение медианы CDc: |
x - 14 |
= |
y - 0 |
, |
x - 14 |
= |
y - 0 |
8.5 - 14 |
-3 - 0 |
-5.5 |
-3 |
- Уравнения бессектрис внутренних углов.
Уравнение биссектрисы внутреннего угла ACB: |
x - Cx |
= |
y - Cy |
Lcx - Cx |
Lcy - Cy |
Используем свойство биссектрисы деления стороны на отрезки пропорциональным двум другим его сторонам.
коэффициент отношения сторон : k = |
CA |
= |
ALc |
CB |
LcB |
Найдем координаты точки Lc : Lcx = |
Ax + k·Bx |
, Lcy = |
Ay + k·By |
1 + k |
1 + k |
- Уравнения биссектрисы внутреннего угла CAB
коэффициент отношения сторон : k = |
22.023 |
= |
BLa |
= 1.481 |
14.866 |
LaC |
Найдем координаты точки La : Lax = |
8 + 1.481·14 |
= 11.582 , Lay = |
8 + 1.481·0 |
= 3.225 |
1 + 1.481 |
1 + 1.481 |
Уравнение биссектрисы внутреннего угла CAB: |
x - 9 |
= |
y - (-14) |
2.582 |
17.225 |
- Уравнения биссектрисы внутреннего угла ABC
коэффициент отношения сторон : k = |
10 |
= |
BLb |
= 0.454 |
22.023 |
LbA |
Найдем координаты точки Lb : Lbx = |
14 + 0.454·9 |
= 12.439 , Lby = |
0 + 0.454·(-14) |
= -4.371 |
1 + 0.454 |
1 + 0.454 |
Уравнение биссектрисы внутреннего угла CAB: |
x - 8 |
= |
y - 8 |
4.439 |
-12.371 |
- Уравнения биссектрисы внутреннего угла BCA
коэффициент отношения сторон : k = |
14.866 |
= |
ALc |
= 1.487 |
10 |
LcB |
Найдем координаты точки Lc : Lcx = |
9 + 1.487·8 |
= 8.402 , Lcy = |
-14 + 1.487·8 |
= -0.846 |
1 + 1.487 |
1 + 1.487 |
Уравнение биссектрисы внутреннего угла CAB: |
x - 14 |
= |
y - 0 |
-5.598 |
-0.846 |
- Точка пересечения высот треугольника.
Точка пересечения высот
CHc 1·x-22·y=14 и
AHa 1·x-1.333·y=27.667
Определитель системы равен: Det = 1·(-1.333)-1·(-22)=20.667
По методу Крамера:
Dety = 27.667·1-14·1=13.667
Detx = 14·(-1.333)-27.667·(-22)=590.012
x = |
Detx |
= |
590.012 |
= 28.549 |
Det |
20.667 |
y = |
Dety |
= |
13.667 |
= 0.661 |
Det |
20.667 |
Точка будет иметь координаты (28.549, 0.661)
- Длины высот.
Расстояние от точки С до прямой AB находится как: d = |
|a·Cx + b·Cy + c| |
корень(a2 + b2) |
где a, b и c находятся из уравнения прямой AB:
AB : |
x - Ax |
= |
y - Ay |
Bx - Ax |
By - Ay |
- Длина высоты AHa
Расстояние от точки A до прямой BC находится как: d = |
|a·9 + b·(-14) + c| |
корень(a2 + b2) |
где a, b и c находятся из уравнения прямой BC:
BC : |
x - 8 |
= |
y - 8 |
, |
x - 8 |
= |
y - 8 |
, -8·x + (-6)·y + 112 = 0 |
8 - 9 |
8 - (-14) |
-1 |
22 |
a = -8, b = -6, c = 112
Длина высоты AHa: d = |
|-8·9 + (-6)·(-14) + 112| |
= 12.4 |
корень(-82 + (-6)2) |
- Длина высоты BHb
Расстояние от точки B до прямой CA находится как: d = |
|a·8 + b·8 + c| |
корень(a2 + b2) |
где a, b и c находятся из уравнения прямой CA: 7
CA : |
x - 14 |
= |
y - 0 |
, |
x - 14 |
= |
y - 0 |
, -14·x + 5·y + 196 = 0 |
8 - 9 |
8 - (-14) |
-1 |
22 |
a = -14, b = 5, c = 196
Длина высоты BHb: d = |
|-14·8 + 5·8 + 196| |
= 8.341 |
корень(-142 + 52) |
- Длина высоты CHc
Расстояние от точки C до прямой AB находится как: d = |
|a·14 + b·0 + c| |
корень(a2 + b2) |
где a, b и c находятся из уравнения прямой BA:
AB : |
x - 9 |
= |
y - (-14) |
, |
x - 9 |
= |
y - (-14) |
, 22·x + 1·y + (-184) = 0 |
8 - 9 |
8 - (-14) |
-1 |
22 |
a = 22, b = 1, c = -184
Длина высоты CHc: d = |
|22·14 + 1·0 + (-184)| |
= 5.631 |
корень(222 + 12) |
- Площадь треугольника
Площадь треугольника равна ½·CHc·AB = ½·5.631·22.023 = 62.006
- Уравнения сторон
- Уравнение стороны AB
AB : |
x - 9 |
= |
y - (-14) |
, |
x - 9 |
= |
y - (-14) |
, 22·x + 1·y + (-184) = 0 |
8 - 9 |
8 - (-14) |
-1 |
22 |
- Уравнение стороны BC
BC : |
x - 8 |
= |
y - 8 |
, |
x - 8 |
= |
y - 8 |
, -8·x + (-6)·y + 112 = 0 |
14 - 8 |
0 - 8 |
6 |
-8 |
- Уравнение стороны CA
CA: |
x - 14 |
= |
y - 0 |
, |
x - 14 |
= |
y - 0 |
, -14·x + 5·y + 196 = 0 |
|
|
