Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Дано координати вершин трикутника ABC. Знайти:


0 Голосов
Кедрук Аня Іг
Posted Декабрь 19, 2015 by Кедрук Аня Ігорівна
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 2562

     <!--[endif]-->Дано координати вершин трикутника ABC. Знайти:


<!--[if !supportLists]-->a)    <!--[endif]-->Довжину сторони BC;


<!--[if !supportLists]-->b)   <!--[endif]-->Рівняння сторони BC;


<!--[if !supportLists]-->c)    <!--[endif]-->Рівняння та довжину висоти AD;


<!--[if !supportLists]-->d)   <!--[endif]-->Рівняння медіани AM та її довжину;


 


<!--[if !supportLists]-->e)    <!--[endif]-->Площу трикутника ABC.


A(9;-14), B(8;8), C(14;0)

Все ответы


0 Голосов
Ткаченко Яна
Posted Январь 4, 2016 by Ткаченко Яна Михайловна

    1. Нахождение длин сторон треугольника.
      Длина стороны АВ = корень((Bx - Ax)2 + (By - Ay)2)




        • Длина стороны АВ: |АВ| = корень((8 - 9)2 + (8 - (-14))2) = 22.023







        • Длина стороны BC: |BC| = корень((14 - 8)2 + (0 - 8)2) = 10







        • Длина стороны CA: |CA| = корень((9 - 14)2 + (-14 - 0)2) = 14.866






    1. Нахождение внутренних углов треугольника.
      Угол А - это угол мужду сторонами (векторами) AB и AC










      cos(A) = ABx·ACx + ABy·ACy
      |AB|·|AC|


      Здесь вектор AB = (ABx   ABy) = (Bx - Ax   By - Ay),
      вектор AC = (ACx   ACy) = (Cx - Ax   Cy - Ay)



        • Угол A
          АВ = (-1   22)
          АC = (5   14)
          |АВ| = корень((8 - 9)2 + (8 - (-14))2) = 22.023
          |AC| = корень((14 - 9)2 + (0 - (-14))2) = 14.866
















      cos(A) =   -1·5 + 22·14  = 0.925, тогда угол A = arccos(0.925) = 22.332°
      22.023·14.866





        • Угол B
          BA = (1   -22)
          BC = (6   -8)
          |BA| = корень((9 - 8)2 + (-14 - 8)2) = 22.023
          |BC| = корень((14 - 8)2 + (0 - 8)2) = 10
















      cos(B) =   1·6 + (-22)·(-8)  = 0.826, тогда угол B = arccos(0.826) = 34.31°
      22.023·10





        • Угол C
          CA = (-5   -14)
          CB = (-6   8)
          |CA| = корень((9 - 14)2 + (-14 - 0)2) = 14.866
          |CB| = корень((8 - 14)2 + (8 - 0)2) = 10
















      cos(C) =   -5·(-6) + (-14)·8  = -0.552, тогда угол B = arccos(-0.552) = 123.504°
      14.866·10




  1. Уравнения высот.















    Уравнение высоты CHc, проведенной через вершину C к стороне AB :    X - Cx    =    Y - Cy    ,
    CHcx CHcy

    где CHcx и CHcy - координаты направляющего вектора прямой (высоты) CH
    Чтобы избежать нулей в знаменателе запишем уравнение высоты в виде:
    (X - Cx)·CHcy=(Y - Cy)·CHcx или
    X·CHcy-Y·CHcx=Cx·CHcy-Cy·CHcx
    Условие перпендикулярности двух прямых: AB·CH = ABx·CHcx + ABy·CHcy = 0
    Можем положить CHcx=-ABy, CHcy=ABx


    • Уравнение высоты AHa: X·AHay-Y·AHax=Ax·AHay-Ay·AHax
      BCx·AHax + BCy·AHay = 0->6·AHax + (-8)·AHay = 0
      Полагаем AHax=-BCy=8, AHay=BCx=6
      Получаем уравнение высоты AHa: 6·x-8·y=9·6-(-14)·8=166 или 1·x-1.333·y=27.667
      Уравнение высоты BHb: X·BHby-Y·BHbx=Bx·BHby-By·BHbx


    • ACx·BHbx + ACy·BHby = 0->5·BHbx + 14·BHby = 0
      Полагаем BHbx=-ACy=-14, BHby=ACx=5
      Получаем уравнение высоты BHb: 5·x-(-14)·y=8·5-8·(-14)=152 или 1·x-(-2.8)·y=30.4
      Уравнение высоты CHc: X·CHcy-Y·CHcx=Cx·CHcy-Cy·CHcx


    • ABx·CHcx + ABy·CHcy = 0->-1·CHcx + 22·CHcy = 0
      Полагаем CHcx=-ABy=-22, CHcy=ABx=-1
      Получаем уравнение высоты CHc: (-1)·x-(-22)·y=14·(-1)-0·(-22)=-14 или 1·x-22·y=14

      Уравнения медиан.
      Уравнение медианы, соединяющей вершину C с серединой стороны AB














      Найдем точку Dc - середина стороны AB: Dcx Bx + Ax   , Dcy =   By + Ay
      2 2














      Уравнение медианы CDc x - Cx   =   y - Cy
      Dcx - Cx Dcy - Cy

      Уравнение медианы, соединяющей вершину A с серединой стороны



















        • Найдем точку Da - середина стороны BC: Dax 8 + 14  =11 , Day =   8 + 0  =4
          2 2






















          Уравнение медианы ADa x - 9   =   y - (-14)  ,   x - 9   =   y - (-14)
          11 - 9 4 - (-14) 2 18








        • Уравнение медианы, соединяющей вершину B с серединой стороны CA

          Ваш треугольник

















          Найдем точку Db - середина стороны CA: Dbx 14 + 9  =11.5 , Dby =   0 + (-14)  =-7
          2 2






















          Уравнение медианы BDb x - 8   =   y - 8  ,   x - 8   =   y - 8
          11.5 - 8 -7 - 8 3.5 -15








        • Уравнение медианы, соединяющей вершину C с серединой стороны AB

          Ваш треугольник

















          Найдем точку Dc - середина стороны AB: Dcx 9 + 8  =8.5 , Dby =   -14 + 8  =-3
          2 2






















          Уравнение медианы CDc x - 14   =   y - 0  ,   x - 14   =   y - 0
          8.5 - 14 -3 - 0 -5.5 -3





    • Уравнения бессектрис внутренних углов.














      Уравнение биссектрисы внутреннего угла ACB:  x - Cx   =   y - Cy
      Lcx - Cx Lcy - Cy

      Используем свойство биссектрисы деления стороны на отрезки пропорциональным двум другим его сторонам.














      коэффициент отношения сторон : k =  CA   =   ALc
      CB LcB














      Найдем координаты точки Lc : Lcx Ax + k·Bx   , Lcy =   Ay + k·By
      1 + k 1 + k



        • Уравнения биссектрисы внутреннего угла CAB
          Ваш треугольник

















          коэффициент отношения сторон : k =  22.023   =   BLa   = 1.481
          14.866 LaC















          Найдем координаты точки La : Lax 8 + 1.481·14   = 11.582 , Lay =   8 + 1.481·0   = 3.225
          1 + 1.481 1 + 1.481














          Уравнение биссектрисы внутреннего угла CAB:  x - 9   =   y - (-14)
          2.582 17.225








        • Уравнения биссектрисы внутреннего угла ABC
          Ваш треугольник

















          коэффициент отношения сторон : k =  10   =   BLb   = 0.454
          22.023 LbA















          Найдем координаты точки Lb : Lbx 14 + 0.454·9   = 12.439 , Lby =   0 + 0.454·(-14)   = -4.371
          1 + 0.454 1 + 0.454














          Уравнение биссектрисы внутреннего угла CAB:  x - 8   =   y - 8
          4.439 -12.371








        • Уравнения биссектрисы внутреннего угла BCA
          Ваш треугольник

















          коэффициент отношения сторон : k =  14.866   =   ALc   = 1.487
          10 LcB















          Найдем координаты точки Lc : Lcx 9 + 1.487·8   = 8.402 , Lcy =   -14 + 1.487·8   = -0.846
          1 + 1.487 1 + 1.487














          Уравнение биссектрисы внутреннего угла CAB:  x - 14   =   y - 0
          -5.598 -0.846





    • Точка пересечения высот треугольника.
      Точка пересечения высот
      CHc 1·x-22·y=14 и
      AHa 1·x-1.333·y=27.667
      Определитель системы равен: Det = 1·(-1.333)-1·(-22)=20.667
      По методу Крамера:
      Dety = 27.667·1-14·1=13.667
      Detx = 14·(-1.333)-27.667·(-22)=590.012















      x =  Detx   =   590.012   = 28.549
      Det 20.667















      y =  Dety   =   13.667   = 0.661
      Det 20.667

      Точка будет иметь координаты (28.549, 0.661)

    • Длины высот.











      Расстояние от точки С до прямой AB находится как: d =  |a·Cx + b·Cy + c|
      корень(a2 + b2)


      где a, b и c находятся из уравнения прямой AB:













      AB :   x - Ax   =   y - Ay
      Bx - Ax By - Ay





        • Длина высоты AHa










          Расстояние от точки A до прямой BC находится как: d =  |a·9 + b·(-14) + c|
          корень(a2 + b2)


          где a, b и c находятся из уравнения прямой BC:




















          BC :   x - 8   =   y - 8   ,   x - 8   =   y - 8   , -8·x + (-6)·y + 112 = 0
          8 - 9 8 - (-14) -1 22


          a = -8, b = -6, c = 112











          Длина высоты AHa: d =  |-8·9 + (-6)·(-14) + 112|   = 12.4
          корень(-82 + (-6)2)








        • Длина высоты BHb










          Расстояние от точки B до прямой CA находится как: d =  |a·8 + b·8 + c|
          корень(a2 + b2)


          где a, b и c находятся из уравнения прямой CA: 7




















          CA :   x - 14   =   y - 0   ,   x - 14   =   y - 0   , -14·x + 5·y + 196 = 0
          8 - 9 8 - (-14) -1 22


          a = -14, b = 5, c = 196











          Длина высоты BHb: d =  |-14·8 + 5·8 + 196|   = 8.341
          корень(-142 + 52)








        • Длина высоты CHc










          Расстояние от точки C до прямой AB находится как: d =  |a·14 + b·0 + c|
          корень(a2 + b2)


          где a, b и c находятся из уравнения прямой BA:




















          AB :   x - 9   =   y - (-14)   ,   x - 9   =   y - (-14)   , 22·x + 1·y + (-184) = 0
          8 - 9 8 - (-14) -1 22


          a = 22, b = 1, c = -184











          Длина высоты CHc: d =  |22·14 + 1·0 + (-184)|   = 5.631
          корень(222 + 12)





    • Площадь треугольника
      Площадь треугольника равна ½·CHc·AB = ½·5.631·22.023 = 62.006

    • Уравнения сторон



        • Уравнение стороны AB




















          AB :   x - 9   =   y - (-14)   ,   x - 9   =   y - (-14)   , 22·x + 1·y + (-184) = 0
          8 - 9 8 - (-14) -1 22








        • Уравнение стороны BC




















          BC :   x - 8   =   y - 8   ,   x - 8   =   y - 8   , -8·x + (-6)·y + 112 = 0
          14 - 8 0 - 8 6 -8







      • Уравнение стороны CA














        CA:   x - 14   =   y - 0   ,   x - 14   =   y - 0   , -14·x + 5·y + 196 = 0