Вспомним уравнение касательной в точке $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$, где \(x_0\) - точка касания. По условию задачи точка касания - точка пересечения с осью ординат \(Oy\), т.е. это точка с координатой \(x_0=0 \). Составляем уравнение касательной в этой точке:
1. Находим угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = 0\), он равен \(f'(x) = ((-3х^2)+6x+1)' = -6x+6 => f'(0) = -6*0+6 = 6\).
2. Находим значение функции в точке касания \(f(x_0) = f(0) = (-3*0^2)+6*0+1 = 1\)
3. Подставляем результат п.1 и п.2 в уравнение касательной $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) => f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) => $$$$f(x) = 1 + 6x$$Проверим графически наше решение. Построим график функции \(y = (-3х^2)+6x+1\) и касательную к нему \(y = 1 + 6x \) в точке касания \(x_0 = 0\)
Из графика видно, что решение задачи правильное.
Ответ: уравнение касательной графика функции \(y = (-3х^2)+6x+1\) в точке пересечения графика с осью ординат \(y = 1 + 6x \)
