Решение: рассмотрим дифференциальное уравнение (x^2-1)y'-xy=x^3-x, \quad y(\sqrt{2})=1 это неоднородное линейное уравнение первого порядка, решать которое будем методом вариации независимой переменной.
Алгоритм решения неоднородного линейного уравнения первого порядка.
Предварительно преобразуем линейое неоднородное дифференциальное уравнение к виду y'+p(x)y=q(x). получаем (x^2-1)y'-xy=x^3-x => y' - \frac{xy}{x^2-1} = \frac{x^3-x}{x^2-1} => y' - \frac{xy}{x^2-1} = x \quad (1)
1. Решаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
y' - \frac{xy}{x^2-1} = 0 => \frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2-1} => \frac{dy}{y} = \frac{x}{x^2-1}dx проинтегрируем обе части уравнения \int \frac{dy}{y} = \int \frac{x}{x^2-1}dx => \ln(y) = \frac{1}{2}\ln(x^2-1)+\ln(C) => y = \sqrt{x^2-1}C \quad (2)
2. Представляем C = C(x).
Подставляем решение в дифференциальное уравнение и находим C(x)
находим производную y' = ( \sqrt{x^2-1}C(x))' = \frac{x}{ \sqrt{x^2-1}}C(x) + \sqrt{x^2-1}C'(x) подставляем в дифференциальное уравнение (1) \frac{x}{ \sqrt{x^2-1}}C(x) + \sqrt{x^2-1}C'(x) - \frac{x\sqrt{x^2-1}C(x)}{x^2-1} = x => обращаю, что при правильной подстановке члены с функцией C(x) должны сократиться \sqrt{x^2-1}C'(x) = x => C'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} => интегрируем обе части дифференциального уравнения \int dC'(x) = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx => C(x) = \sqrt{x^2-1} +C_1
3. Получаем общее решение дифференциального уравнения, подставляем в (1)
y = \sqrt{x^2-1}C(x) = \sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1} +C_1)=> y = C_1\sqrt{x^2-1} +x^2-1
4. Найдем честное решение, удовлетворяющее начальному условию y(\sqrt{2})=1
Подставим в решение дифференциального уравнения начальное условие и найдем значение константы C_1. Подставляем y(\sqrt{2}) = C_1\sqrt{(\sqrt{2})^2-1} +(\sqrt{2})^2-1 = 1 => C_1*1 +1 = 1 => C_1=0
Ответ: решение дифференциального уравнения (x^2-1)y'-xy=x^3-x удовлетворяющее начальному условию y(\sqrt{2})=1 равно y = x^2-1