Рішення : знайдемо похідну неявної функції \(y (x) \), задану рівнянням \(x + y + \arcsin (y) = 0 \).
Алгоритм знаходження похідну функції, заданої неявно.
1. Введемо позначення F (x; y) - функція двох змінних \(F (x; y) = x + y + \arcsin (y) = 0 \).
2. Знайдемо приватні похідні функції двох змінних \(F (x; y) \) по x і y
$$ F'(x; y) _x = \frac{\partial F}{\partial x} = ( x + y + \arcsin (y))'_ x = $$ Знаходимо похідну функції \(F (x; y) \) по змінній \(x \), при цьому змінну \(y \) вважаємо \(y = const \) $$ F'(x; y) _x = 1 + 0 + \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} $$
$$ F'(x; y) _y = \frac{\partial F}{\partial y} = (x + y + \arcsin (y))' _ y = $$ Знаходимо похідну функції \(F (x; y) \) по змінній \(y \), при цьому змінну \(x \) вважаємо \(x = const \) $$ F'(x; y) _y = 0 + 1 + 0 = 1 $$
3. Знайдемо похідну неявно заданої функції за формулою $$ \frac{dy}{dx} = - \frac{F'_x}{F'_y} = - \frac{ 1 }{1 + \frac{1}{ \sqrt{1 - y^2}}} = - \frac{ \sqrt{1 - y^2} }{ \sqrt{1 - y^2} +1} $$
Для перевірки результату, знайдемо похідну функції \((F (x; y))'_ x \), при цьому врахуємо, що \(y \) - функція \(y (x) \) і її похідна шукається по формулою складної функції.
Знайдемо похідну $$ (F (x; y))'_ x = ( x + y + \arcsin(y))'_x = 0 = > $$$$ 1+ y'+ \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} y' = 0 = > $$ винесемо за дужки \(y'\), отримаємо $$ 1 + y'(1+ \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}) = 0 = > $$$$ y' = - \frac{1}{1+ \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}} = - \frac{ \sqrt{1 - y^2}}{ \sqrt{1 - y^2} + 1} $$
Відповідь : похідна функції заданої неявно \( x + y + \arcsin (y) = 0 \) дорівнює \(\frac{dy}{dx} = - \frac{ \sqrt{1 - y^2}}{ \sqrt{1 - y^2} + 1} \).
